Optimización para canales de medios sin datos de alcance y frecuencia

Supongamos que deseas calcular una optimización del presupuesto para los canales de medios $N_M$ en un conjunto de regiones $G$ y con un intervalo de tiempo $[t_0,t_1]$. Considera cualquier vector de presupuesto $b=(b_1,\ldots b_{N_M})$, donde $b_i \geq 0$ denota el presupuesto total asignado al canal $i$ en esas regiones y esos períodos. Supongamos que $c_i=\sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}\ \ddot{x}^{[M]}_{g,t,i} u_{g,t,i}^{[M]}$ es el presupuesto histórico real de cada canal $i$ en las regiones y los períodos de optimización. Para hallar las unidades de medios de cada ubicación geográfica y período en el vector de presupuesto $b$, debes ajustar las unidades de medios históricas de cada canal según el ratio $\frac{b_i}{c_i}$.

En consecuencia, defines las unidades de medios sin procesar en un vector de presupuesto $b$ determinado de la siguiente manera:

$ \ddot{x}_{g,t,i}^{[b]} = \dfrac{\ddot{x}^{[M]}_{g,t,i}b_i }{c_i}$ para $t \in [t_0-L,t_1] $

Las unidades de medios transformadas correspondientes se definen de la siguiente manera:

$ x_{g,t,m}^{[b]} = L_{g,i}^{[M]}\left( \ddot{x}_{g,t,i}^{[b]} \right) = \dfrac{x_{g,t,i}b_i}{c_i} $

Las unidades de medios se ajustan para todos los períodos, incluidos los anteriores a $t_0$. El presupuesto $C$ corresponde al intervalo de tiempo $[t_0,t_1],$, y esta situación captura el resultado esperado que se obtiene durante el mismo intervalo $[t_0,t_1]$. Esto incluye el resultado relacionado con los medios ejecutados antes de $t_0$, pero excluye el efecto rezagado de los medios posteriores a $t_1$. Por lo tanto, el resultado esperado no corresponde exactamente al presupuesto, pero debería ser similar si el intervalo de tiempo es extenso o si la ejecución de medios durante $[t_0-L,t_0-1]$ es similar a la ejecución de medios durante ([t_1+1,t_1+L]\).

Esta definición tiene ventajas y desventajas, pero una ventaja es que el resultado esperado no depende de la ejecución de medios futura posterior a $t_1$, que podría ser un valor desconocido. Esto es un problema en particular cuando hill_before_adstock=False, en cuyo caso la ejecución de medios después de $t_1$ puede alterar el efecto rezagado de los medios ejecutados durante $[t_1+1,t_1+L]$.

Optimización de un presupuesto fijo

Considera la optimización de un presupuesto fijo con el presupuesto total $C$. Define el conjunto de todos los vectores de este presupuesto total como $ B_C = \left\{ b: \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i=C \right\} $. La cantidad optimizada corresponde al resultado esperado, que se define de la siguiente manera:

$$ \begin{multline*} \text{ExpectedOutcome}(b) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E \left( \overset \sim Y_{g,t}^{ \left( \left\{ x_{g,t,i}^{[b]} \right\} \right) } \Bigg| \{z_{g,t,i}\} \right) \\ = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[y]-1} \left( \mu_t + \tau_g + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma^{[C]}_{g,i}z_{g,t,i}\ + \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta^{[M]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha^{M}_i, ec^{[M]}_i, \text{slope}^{[M]}_i \right) \right) \end{multline*} $$

Los valores reales de los parámetros son desconocidos. Dado que Meridian es un modelo bayesiano, el resultado esperado tiene una distribución a posteriori. La función objetiva de la optimización del presupuesto se determina para que sea la media de la distribución a posteriori del resultado esperado, lo que equivale a la media de la distribución a posteriori del resultado predictivo. El vector de presupuesto óptimo se define de la siguiente manera:

$$ \begin{align*} b_{optimal} = \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\ = \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \mu_t^{(j)} + \tau_g^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\& + \sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \right) \Biggl) \\ = \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \right) \right) \end{align*} $$

Donde:

$J$ es la cantidad total de muestras a posteriori del método de Monte Carlo basado en cadenas de Markov (MCMC).
La $j$^th muestra extraída de la distribución a posteriori de cada parámetro se denota con el superíndice $^{(j)}$.

Optimización de un presupuesto flexible

En el caso de la optimización de un presupuesto flexible, se optimiza el resultado esperado mientras se permite que el presupuesto total varíe. La optimización se limita al ROI marginal mínimo o a las restricciones del ROI objetivo.

Restricción del ROI objetivo

Cuando se especifica el ROI objetivo, Meridian explora todos los vectores de presupuesto $b=(b_1,\ldots ,b_{N_M})$, de forma tal que el ROI total sea $\text{ROI} \geq \text{ROI}_{target}\ \forall m$, mientras permite que el presupuesto total $\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i$ varíe. El vector de presupuesto óptimo se define de la siguiente manera:

$$ \begin{align*} b_{optimal} = \underset{b}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\ = \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \mu_t^{(j)} + \tau_g^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\ & + \sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec^{[M](j)}_i, \text{slope}_i^{[M](j)} \right) \Biggl) \\ = \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)},ec_i^{[M](j)},\text{slope}_i^{[M](j)} \right) \right) \\ \end{align*} $$

$ s.t.\ \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{ExpectedOutcome}_i}{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} $

Aquí la restricción del ROI objetivo se aplica a nivel del ROI de marketing total y no a nivel del canal.

Restricción del mROI mínimo

Cuando se especifica el ROI marginal mínimo, Meridian explora todos los vectores de presupuesto $b=(b_1,\dots,b_{N_M})$, de forma tal que el ROI marginal sea $\text{mROI}_i \geq \text{mROI}_{minimal}\ \forall i$, mientras permite que el presupuesto total $\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i$ varíe. El vector de presupuesto óptimo se define tal como se indica a continuación.

$$ \begin{align*} b_{optimal} = \underset{b}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\ = \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \mu_t^{(j)} + \tau_g^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\ & + \sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \right) \Biggl) \\ = \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)},ec_i^{[M](j)},\text{slope}_i^{[M](j)} \right) \right) \\ \end{align*} $$

$ s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i $

Aquí el mROI mínimo se aplica a nivel del canal y no a nivel del ROI de marketing total.

Restricciones de inversión a nivel del canal

Las restricciones de inversión a nivel del canal están disponibles para la optimización de presupuestos fijos y flexibles para evitar resultados de optimización poco razonables (por ejemplo, destinar toda la inversión a un solo canal). La restricción de inversión a nivel del canal se define de la siguiente manera:

$$ (b_i^{'} \times LB_i) \leq b_i \leq (b_i{'} \times UB_i) \space \forall i $$