Optimización para canales de medios con datos de alcance y frecuencia

En los canales de medios con datos de alcance y frecuencia, es posible optimizar tanto la frecuencia promedio objetivo de los anuncios como la asignación del presupuesto en los distintos canales. Sin embargo, el simple hecho de que existan datos de alcance y frecuencia para un canal no siempre significa que un anunciante tenga un gran control sobre la frecuencia promedio. Meridian permite optimizar el presupuesto según la frecuencia promedio óptima o histórica de cada canal.

• Para cada canal en el que se use la frecuencia promedio histórica, se supondrá que la frecuencia promedio de cada región y período permanece constante, sin importar la asignación del presupuesto.

• Para cada canal en el que se prefiera optimizar la frecuencia, Meridian primero calculará el valor de la frecuencia óptima. Esta optimización limita la frecuencia óptima para que sea la misma en todas las regiones y períodos. Esta restricción tiene dos propósitos: primero, lograr una estrategia de frecuencia objetivo más práctica de implementar y, segundo, simplificar la rutina de optimización. Según la especificación del modelo Meridian, la frecuencia óptima no depende de la asignación del presupuesto.

En cualquier caso, la suposición para cualquier nivel de presupuesto determinado es que las impresiones se asignan según el patrón histórico de publicación en todas las regiones geográficas y períodos. Supongamos que deseas calcular la optimización del presupuesto para el conjunto de regiones $G$ y el intervalo de tiempo \([t_0,t_1]\). La fórmula \(c_i^{[RF]}= \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t,i}^{[RF]} \cdot \ddot r_{g,t,i}^{[RF]} \cdot f_{g,t,i}^{[RF]}\) representa el presupuesto histórico real de cada canal $i$ en las regiones y los períodos de optimización. La asignación de presupuesto propuesta en todos los canales se expresa como un par de vectores\(b=(b_1,\ldots b_{N_{RF}})\) y \(b^{[RF]}=(b_1^{[RF]}, \ldots b_{N_{RF}}^{[RF]})\), y el conjunto propuesto de objetivos de frecuencia promedio se expresa como \(f=\{f_{g,t,i}^{\ast}\}\), donde \(f_{g,t,i}^* \geq 1\ \forall g,t,i\). El asterisco distingue la frecuencia propuesta de la histórica.

Con el patrón histórico de publicación, el alcance de cada ubicación geográfica y período se define de la siguiente manera:

\(\ddot r_{g,t,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} = \dfrac{ \ddot r_{g,t,n}^{[RF]} f_{g,t,n}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,n}^*c_i^{[RF]} }\) para \(t \in [t_0-L,t_1]\)

Las unidades de medios transformadas correspondientes se definen de la siguiente manera:

\(r_{g,t,n}^{(b^{[RF]},f)} = L_{g,i}^{[RF]}\left(\ddot r_{g,t,i}^{[b,f]}\right) = \dfrac{ r_{g,t,i}^{[RF]} f_{g,t,i}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,i}^*c_i^{[RF]} }\)

Frecuencia óptima

El resultado esperado es ahora una función de los vectores de presupuesto \(b\) y\(b^{[RF]}\) , así como de las frecuencias objetivo \(f\):

$$ \begin{multline*} E(\text{ExpectedOutcome}(b,b^{[RF]},f)| \text{Data}) = \\ \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \tau_g^{(j)} + \mu_t^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} + \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^*; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{multline*} $$

Para cualquier asignación de presupuesto y conjunto de frecuencias objetivo, la frecuencia óptima del canal \(i^{th}\) se define de la siguiente manera:

$$ \begin{align*} f_{optimal,i} &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ E \left( \text{ExpectedOutcome} \left( b, b^{[RF]}, f \right) \Big| \text{Data} \right) \\ &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ \dfrac{ r_{g,t-s,i}^{[RF]} f_{g,t-s,i}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{ f_i c_i^{[RF]} } \text{Hill} \Bigl( f_i; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \\ &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ \frac{b_i^{[RF]}}{c_i^{[RF]}} \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ \dfrac{ r_{g,t-s,i}^{[RF]} f_{g,t-s,i}^{[RF]} }{ f_i } \text{Hill} \Bigl( f_i; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\(b_i^{[RF]}\) y \(c_i^{[RF]}\) se eliminan por completo de la función objetivo, por lo que la frecuencia óptima no depende de la asignación del presupuesto. Como resultado, es posible primero calcular las frecuencias óptimas y luego incluir estos valores en la función del resultado esperado para optimizar la asignación del presupuesto.

Optimización de un presupuesto fijo

Considera la optimización de un presupuesto fijo con el presupuesto total \(C\). Define el conjunto de todos los vectores de este presupuesto total como \(B_C = \left\{b, b^{(rf)}: \sum\limits_{m=1}^M b_m + \sum\limits_{n=1}^Nb_n^{(rf)}=C \right\}\). Meridian permite optimizar el presupuesto según la frecuencia promedio óptima o histórica de cada canal. La cantidad optimizada corresponde al resultado esperado, siempre que la frecuencia sea óptima o histórica, que se define de la siguiente manera: de todos los vectores de este presupuesto con este presupuesto total como \(B_C = \left\{b, b^{[RF]}: \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} b_i^{[RF]}=C \right\}\). Meridian permite optimizar el presupuesto según la frecuencia promedio óptima o histórica de cada canal. La cantidad optimizada corresponde a los resultados esperados, siempre que la frecuencia sea óptima o histórica, tal como se define a continuación:

Resultado esperado para la frecuencia óptima:

\(EO_ \text{optimalfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{ x_{g,t,i}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],\text{optimal}]}, f_{\text{optimal},i} \right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)

Resultado esperado para la frecuencia histórica:

\(EO_ \text{historialfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{ x_{g,t,m}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],f]}, f^{[RF]}_{g,t,i} \right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)

Aquí \(f_{\text{optimal},i}\) y \(f_{g,t,i}\) son propiedades predefinidas que representan la frecuencia óptima y la frecuencia histórica del canal \(i\)^th

por lo que hay dos parámetros, \(b\) y \(b^{[RF]}\).

Los valores reales de los parámetros son desconocidos. Meridian calcula el resultado esperado con una distribución a posteriori. Para optimizar el presupuesto, se utiliza la media a posteriori del resultado esperado como función objetivo. El vector de presupuesto óptimo se define de la siguiente manera.

Asignación óptima del presupuesto cuando se usa la frecuencia óptima:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b,b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal} \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

Asignación óptima del presupuesto cuando se usa la frecuencia histórica:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_{historicalfreq}\left( b,b^{[RF]} \right) \Big| Data \right] \\ = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

Donde se cumplen los siguientes criterios:

• \(J\) se define como la cantidad total de muestras a posteriori de MCMC.
• La muestra a posteriori \(j\)^th de cada parámetro se indica con el superíndice \(^{(j)}\).

Optimización de un presupuesto flexible

En el caso de la optimización de un presupuesto flexible, se optimiza el resultado esperado mientras se permite que el presupuesto total varíe. El proceso de optimización está sujeto a las restricciones que imponen el retorno de la inversión (ROI) marginal mínimo o el ROI objetivo. Además, la optimización considera la frecuencia promedio óptima o histórica de cada canal.

Restricción del ROI objetivo

Se aplica cuando se especifica un ROI objetivo. Esto significa que Meridian explora todos los vectores de presupuesto \(b=(b_1,\ldots,b_{N_M})\) en busca de aquellos en los que el ROI total cumpla esta fórmula \(ROI \geq ROI_{target}\ \forall i\), mientras permite que el presupuesto total\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) varíe. El vector de presupuesto óptimo se define de la siguiente manera.

Asignación óptima del presupuesto cuando se usa la frecuencia óptima:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal}\right)} Hill \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)

Asignación óptima del presupuesto cuando se usa la frecuencia histórica:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_{\text{optimal}}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{historicalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)

Aquí la restricción del ROI objetivo se aplica a nivel del ROI de marketing total y no a nivel del canal.

Restricción del mROI mínimo

Cuando se especifica el ROI marginal mínimo, Meridian explora todos los vectores de presupuesto \(b=(b_1, \ldots, b_{N_M})\) en busca de aquellos en el que el ROI marginal cumpla esta fórmula\(mROI_i \geq mROI_{minimal}\ \forall i\), mientras permite que el presupuesto total\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) varíe. El vector de presupuesto óptimo se define de la siguiente manera:

Asignación óptima del presupuesto cuando se usa la frecuencia óptima:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b,b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal}\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_\text{minimal}\ \forall i \)

Asignación óptima del presupuesto cuando se usa la frecuencia histórica:

$$ \begin{align*} b_\text{optimal}, b_\text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_\text{historicalfreq}\left(b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i \)

Aquí el mROI mínimo se aplica a nivel del canal y no a nivel del ROI de marketing total.

Restricciones de inversión a nivel del canal

Las restricciones de inversión a nivel del canal están disponibles para la optimización de presupuestos fijos y flexibles para evitar resultados de optimización poco razonables (por ejemplo, destinar toda la inversión a un solo canal). La restricción de inversión a nivel del canal se define de la siguiente manera:

$$ (b_i^{'} \times LB_i) \leq b_i \leq (b_i^{'} \times UB_i) \space \forall i $$

Donde se cumplen los siguientes criterios:

• \(b_i^{'}\) es la inversión no optimizada para el canal $i$.
• \(LB_i\) es el límite inferior especificado por el usuario con un valor entre \(0\)y \(1\).
• \(UB_i\) es el límite superior especificado por el usuario con un valor superior a\(1\).