Solução de problemas de CP

A seção anterior mostrou como encontrar todas as soluções para um problema de CP. A seguir, mostraremos como encontrar uma solução ideal. Como exemplo, vamos resolver o seguinte problema de otimização.

Maximizar 2x + 2y + 3z sujeita às seguintes restrições:

x + ^7⁄2 y + ^3⁄2 z	≤	25
3x - 5y + 7z	≤	45
5x + 2y a 6z	≤	37
x, y e z	≥	0
Números inteiros x, y, z

Para aumentar a velocidade computacional, o solucionador CP-SAT trabalha com números inteiros. Isso significa que todas as restrições e o objetivo precisam ter coeficientes inteiros. No exemplo acima, a primeira restrição não atende a essa condição. Para resolver o problema, primeiro é preciso transformar a restrição multiplicando por um número inteiro suficientemente grande para converter todos os coeficientes em números inteiros. Isso é mostrado na seção Restrições abaixo.

Solução que usa o solucionador CP-SAT

Nas seções a seguir, apresentamos um programa em Python que resolve o problema usando o solucionador CP-SAT.

Importar as bibliotecas

O código a seguir importa a biblioteca necessária.

Python

from ortools.sat.python import cp_model

C++

#include <stdint.h>
#include <stdlib.h>

#include <algorithm>

#include "ortools/base/logging.h"
#include "ortools/sat/cp_model.h"
#include "ortools/sat/cp_model.pb.h"
#include "ortools/sat/cp_model_solver.h"
#include "ortools/util/sorted_interval_list.h"

Java

import static java.util.Arrays.stream;

import com.google.ortools.Loader;
import com.google.ortools.sat.CpModel;
import com.google.ortools.sat.CpSolver;
import com.google.ortools.sat.CpSolverStatus;
import com.google.ortools.sat.IntVar;
import com.google.ortools.sat.LinearExpr;

C#

using System;
using System.Linq;
using Google.OrTools.Sat;

Declarar o modelo

O código a seguir declara o modelo para o problema.

Python

model = cp_model.CpModel()

C++

CpModelBuilder cp_model;

Java

CpModel model = new CpModel();

C#

CpModel model = new CpModel();

Criar as variáveis

O código a seguir cria as variáveis para o problema.

Python

var_upper_bound = max(50, 45, 37)
x = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "x")
y = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "y")
z = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "z")

C++

int64_t var_upper_bound = std::max({50, 45, 37});
const Domain domain(0, var_upper_bound);
const IntVar x = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("x");
const IntVar y = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("y");
const IntVar z = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("z");

Java

int varUpperBound = stream(new int[] {50, 45, 37}).max().getAsInt();

IntVar x = model.newIntVar(0, varUpperBound, "x");
IntVar y = model.newIntVar(0, varUpperBound, "y");
IntVar z = model.newIntVar(0, varUpperBound, "z");

C#

int varUpperBound = new int[] { 50, 45, 37 }.Max();

IntVar x = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "x");
IntVar y = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "y");
IntVar z = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "z");

Definir as restrições

Desde a primeira restrição,

x + ^7⁄2 y + ^3⁄2 z

≤

25

tiver coeficientes não inteiros, primeiro você precisa multiplicar toda a restrição por um número inteiro suficientemente grande para converter os coeficientes em números inteiros. Nesse caso, você pode multiplicar por 2, o que resulta na nova restrição

2x + 7y + 3z

≤

50

Isso não muda o problema, já que a restrição original tem exatamente as mesmas soluções que a restrição transformada.

O código a seguir define as três restrições lineares para o problema:

Python

model.add(2 * x + 7 * y + 3 * z <= 50)
model.add(3 * x - 5 * y + 7 * z <= 45)
model.add(5 * x + 2 * y - 6 * z <= 37)

C++

cp_model.AddLessOrEqual(2 * x + 7 * y + 3 * z, 50);
cp_model.AddLessOrEqual(3 * x - 5 * y + 7 * z, 45);
cp_model.AddLessOrEqual(5 * x + 2 * y - 6 * z, 37);

Java

model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {2, 7, 3}), 50);
model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {3, -5, 7}), 45);
model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {5, 2, -6}), 37);

C#

model.Add(2 * x + 7 * y + 3 * z <= 50);
model.Add(3 * x - 5 * y + 7 * z <= 45);
model.Add(5 * x + 2 * y - 6 * z <= 37);

Definir a função objetiva

O código a seguir define a função objetivo do problema e a declara como um problema de maximização:

Python

model.maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z)

C++

cp_model.Maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z);

Java

model.maximize(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {2, 2, 3}));

C#

model.Maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z);

Chamar o solucionador

O código a seguir chama o solucionador.

Python

solver = cp_model.CpSolver()
status = solver.solve(model)

C++

const CpSolverResponse response = Solve(cp_model.Build());

Java

CpSolver solver = new CpSolver();
CpSolverStatus status = solver.solve(model);

C#

CpSolver solver = new CpSolver();
CpSolverStatus status = solver.Solve(model);

Mostrar a solução

O código a seguir exibe os resultados.

Python

if status == cp_model.OPTIMAL or status == cp_model.FEASIBLE:
    print(f"Maximum of objective function: {solver.objective_value}\n")
    print(f"x = {solver.value(x)}")
    print(f"y = {solver.value(y)}")
    print(f"z = {solver.value(z)}")
else:
    print("No solution found.")

C++

if (response.status() == CpSolverStatus::OPTIMAL ||
    response.status() == CpSolverStatus::FEASIBLE) {
  // Get the value of x in the solution.
  LOG(INFO) << "Maximum of objective function: "
            << response.objective_value();
  LOG(INFO) << "x = " << SolutionIntegerValue(response, x);
  LOG(INFO) << "y = " << SolutionIntegerValue(response, y);
  LOG(INFO) << "z = " << SolutionIntegerValue(response, z);
} else {
  LOG(INFO) << "No solution found.";
}

Java

if (status == CpSolverStatus.OPTIMAL || status == CpSolverStatus.FEASIBLE) {
  System.out.printf("Maximum of objective function: %f%n", solver.objectiveValue());
  System.out.println("x = " + solver.value(x));
  System.out.println("y = " + solver.value(y));
  System.out.println("z = " + solver.value(z));
} else {
  System.out.println("No solution found.");
}

C#

if (status == CpSolverStatus.Optimal || status == CpSolverStatus.Feasible)
{
    Console.WriteLine($"Maximum of objective function: {solver.ObjectiveValue}");
    Console.WriteLine("x = " + solver.Value(x));
    Console.WriteLine("y = " + solver.Value(y));
    Console.WriteLine("z = " + solver.Value(z));
}
else
{
    Console.WriteLine("No solution found.");
}

A saída é mostrada abaixo:

Maximum of objective function: 35

x value:  7
y value:  3
z value:  5

Todo o programa

Confira o programa inteiro abaixo.

Python

"""Simple solve."""
from ortools.sat.python import cp_model


def main() -> None:
    """Minimal CP-SAT example to showcase calling the solver."""
    # Creates the model.
    model = cp_model.CpModel()

    # Creates the variables.
    var_upper_bound = max(50, 45, 37)
    x = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "x")
    y = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "y")
    z = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "z")

    # Creates the constraints.
    model.add(2 * x + 7 * y + 3 * z <= 50)
    model.add(3 * x - 5 * y + 7 * z <= 45)
    model.add(5 * x + 2 * y - 6 * z <= 37)

    model.maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z)

    # Creates a solver and solves the model.
    solver = cp_model.CpSolver()
    status = solver.solve(model)

    if status == cp_model.OPTIMAL or status == cp_model.FEASIBLE:
        print(f"Maximum of objective function: {solver.objective_value}\n")
        print(f"x = {solver.value(x)}")
        print(f"y = {solver.value(y)}")
        print(f"z = {solver.value(z)}")
    else:
        print("No solution found.")

    # Statistics.
    print("\nStatistics")
    print(f"  status   : {solver.status_name(status)}")
    print(f"  conflicts: {solver.num_conflicts}")
    print(f"  branches : {solver.num_branches}")
    print(f"  wall time: {solver.wall_time} s")


if __name__ == "__main__":
    main()

C++

#include <stdint.h>
#include <stdlib.h>

#include <algorithm>

#include "ortools/base/logging.h"
#include "ortools/sat/cp_model.h"
#include "ortools/sat/cp_model.pb.h"
#include "ortools/sat/cp_model_solver.h"
#include "ortools/util/sorted_interval_list.h"

namespace operations_research {
namespace sat {

void CpSatExample() {
  CpModelBuilder cp_model;

  int64_t var_upper_bound = std::max({50, 45, 37});
  const Domain domain(0, var_upper_bound);
  const IntVar x = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("x");
  const IntVar y = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("y");
  const IntVar z = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("z");

  cp_model.AddLessOrEqual(2 * x + 7 * y + 3 * z, 50);
  cp_model.AddLessOrEqual(3 * x - 5 * y + 7 * z, 45);
  cp_model.AddLessOrEqual(5 * x + 2 * y - 6 * z, 37);

  cp_model.Maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z);

  // Solving part.
  const CpSolverResponse response = Solve(cp_model.Build());

  if (response.status() == CpSolverStatus::OPTIMAL ||
      response.status() == CpSolverStatus::FEASIBLE) {
    // Get the value of x in the solution.
    LOG(INFO) << "Maximum of objective function: "
              << response.objective_value();
    LOG(INFO) << "x = " << SolutionIntegerValue(response, x);
    LOG(INFO) << "y = " << SolutionIntegerValue(response, y);
    LOG(INFO) << "z = " << SolutionIntegerValue(response, z);
  } else {
    LOG(INFO) << "No solution found.";
  }

  // Statistics.
  LOG(INFO) << "Statistics";
  LOG(INFO) << CpSolverResponseStats(response);
}

}  // namespace sat
}  // namespace operations_research

int main() {
  operations_research::sat::CpSatExample();
  return EXIT_SUCCESS;
}

Java

package com.google.ortools.sat.samples;
import static java.util.Arrays.stream;

import com.google.ortools.Loader;
import com.google.ortools.sat.CpModel;
import com.google.ortools.sat.CpSolver;
import com.google.ortools.sat.CpSolverStatus;
import com.google.ortools.sat.IntVar;
import com.google.ortools.sat.LinearExpr;

/** Minimal CP-SAT example to showcase calling the solver. */
public final class CpSatExample {
  public static void main(String[] args) {
    Loader.loadNativeLibraries();
    // Create the model.
    CpModel model = new CpModel();

    // Create the variables.
    int varUpperBound = stream(new int[] {50, 45, 37}).max().getAsInt();

    IntVar x = model.newIntVar(0, varUpperBound, "x");
    IntVar y = model.newIntVar(0, varUpperBound, "y");
    IntVar z = model.newIntVar(0, varUpperBound, "z");

    // Create the constraints.
    model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {2, 7, 3}), 50);
    model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {3, -5, 7}), 45);
    model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {5, 2, -6}), 37);

    model.maximize(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {2, 2, 3}));

    // Create a solver and solve the model.
    CpSolver solver = new CpSolver();
    CpSolverStatus status = solver.solve(model);

    if (status == CpSolverStatus.OPTIMAL || status == CpSolverStatus.FEASIBLE) {
      System.out.printf("Maximum of objective function: %f%n", solver.objectiveValue());
      System.out.println("x = " + solver.value(x));
      System.out.println("y = " + solver.value(y));
      System.out.println("z = " + solver.value(z));
    } else {
      System.out.println("No solution found.");
    }

    // Statistics.
    System.out.println("Statistics");
    System.out.printf("  conflicts: %d%n", solver.numConflicts());
    System.out.printf("  branches : %d%n", solver.numBranches());
    System.out.printf("  wall time: %f s%n", solver.wallTime());
  }

  private CpSatExample() {}
}

C#

using System;
using System.Linq;
using Google.OrTools.Sat;

public class CpSatExample
{
    static void Main()
    {
        // Creates the model.
        CpModel model = new CpModel();

        // Creates the variables.
        int varUpperBound = new int[] { 50, 45, 37 }.Max();

        IntVar x = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "x");
        IntVar y = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "y");
        IntVar z = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "z");

        // Creates the constraints.
        model.Add(2 * x + 7 * y + 3 * z <= 50);
        model.Add(3 * x - 5 * y + 7 * z <= 45);
        model.Add(5 * x + 2 * y - 6 * z <= 37);

        model.Maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z);

        // Creates a solver and solves the model.
        CpSolver solver = new CpSolver();
        CpSolverStatus status = solver.Solve(model);

        if (status == CpSolverStatus.Optimal || status == CpSolverStatus.Feasible)
        {
            Console.WriteLine($"Maximum of objective function: {solver.ObjectiveValue}");
            Console.WriteLine("x = " + solver.Value(x));
            Console.WriteLine("y = " + solver.Value(y));
            Console.WriteLine("z = " + solver.Value(z));
        }
        else
        {
            Console.WriteLine("No solution found.");
        }

        Console.WriteLine("Statistics");
        Console.WriteLine($"  conflicts: {solver.NumConflicts()}");
        Console.WriteLine($"  branches : {solver.NumBranches()}");
        Console.WriteLine($"  wall time: {solver.WallTime()}s");
    }
}