सीपी की समस्या को हल करना

पिछले सेक्शन में, सीपी से जुड़ी समस्या के सभी समाधान ढूंढने का तरीका बताया गया था. इसके बाद, हम बेहतर हल ढूंढने का तरीका बताएंगे. उदाहरण के तौर पर, हम यहां दी गई ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या को हल करेंगे.

इन शर्तों के आधार पर, 2x + 2y + 3z को बड़ा करें:

x + ^7⁄2 y + ^3⁄2 z	≤	25
3x - 5y + 7z	≤	45
5x + 2y - 6z	≤	37
x, y, z	≥	0
x, y, z पूर्णांक

कंप्यूटेशनल रफ़्तार बढ़ाने के लिए, सीपी-एसएटी सॉल्वर पूर्णांकों पर काम करता है. इसका मतलब है कि सभी कंस्ट्रेंट और मकसद के लिए पूर्णांक होना ज़रूरी है. ऊपर दिए गए उदाहरण में, पहला कंस्ट्रेंट इस शर्त को पूरा नहीं करता. समस्या को हल करने के लिए, सबसे पहले आपको कंस्ट्रेंट को काफ़ी बड़े पूर्णांक से गुणा करके, उसे पूरी तरह बदलना होगा. इससे सभी गुणांकों को पूर्णांकों में बदला जा सकेगा. इसे नीचे दिए गए सीमाएं सेक्शन में दिखाया गया है.

CP-SAT सॉल्वर की मदद से समस्या हल करने का तरीका

नीचे दिए गए सेक्शन एक Python प्रोग्राम दिया गया है, जो CP-SAT सॉल्वर का इस्तेमाल करके समस्या को हल करता है.

लाइब्रेरी इंपोर्ट करना

नीचे दिया गया कोड, ज़रूरी लाइब्रेरी को इंपोर्ट करता है.

Python

from ortools.sat.python import cp_model

C++

#include <stdint.h>
#include <stdlib.h>

#include <algorithm>

#include "ortools/base/logging.h"
#include "ortools/sat/cp_model.h"
#include "ortools/sat/cp_model.pb.h"
#include "ortools/sat/cp_model_solver.h"
#include "ortools/util/sorted_interval_list.h"

Java

import static java.util.Arrays.stream;

import com.google.ortools.Loader;
import com.google.ortools.sat.CpModel;
import com.google.ortools.sat.CpSolver;
import com.google.ortools.sat.CpSolverStatus;
import com.google.ortools.sat.IntVar;
import com.google.ortools.sat.LinearExpr;

C#

using System;
using System.Linq;
using Google.OrTools.Sat;

मॉडल का एलान करना

यहां दिया गया कोड, समस्या के लिए मॉडल के बारे में बताता है.

Python

model = cp_model.CpModel()

C++

CpModelBuilder cp_model;

Java

CpModel model = new CpModel();

C#

CpModel model = new CpModel();

वैरिएबल बनाना

नीचे दिया गया कोड, समस्या के लिए वैरिएबल बनाता है.

Python

var_upper_bound = max(50, 45, 37)
x = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "x")
y = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "y")
z = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "z")

C++

int64_t var_upper_bound = std::max({50, 45, 37});
const Domain domain(0, var_upper_bound);
const IntVar x = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("x");
const IntVar y = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("y");
const IntVar z = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("z");

Java

int varUpperBound = stream(new int[] {50, 45, 37}).max().getAsInt();

IntVar x = model.newIntVar(0, varUpperBound, "x");
IntVar y = model.newIntVar(0, varUpperBound, "y");
IntVar z = model.newIntVar(0, varUpperBound, "z");

C#

int varUpperBound = new int[] { 50, 45, 37 }.Max();

IntVar x = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "x");
IntVar y = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "y");
IntVar z = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "z");

सीमा तय करना

पहले कंस्ट्रेंट के बाद से,

x + ^7⁄2 y + ^3⁄2 z

≤

25

इसमें गैर-पूर्णांक गुणांक हैं, तो आपको सबसे पहले पूरे कंस्ट्रेंट को काफ़ी बड़े पूर्णांक से गुणा करना होगा. इससे, गुणांकों को पूर्णांकों में बदला जा सकेगा. इस मामले में, को 2 से गुणा किया जा सकता है, जिससे नया कंस्ट्रेंट मिलेगा

2x + 7y + 3z

≤

50

इससे समस्या नहीं बदलती, क्योंकि ऑरिजनल कंस्ट्रेंट में और बदले गए कंस्ट्रेंट के समाधान बिलकुल एक जैसे हैं.

यह कोड, समस्या की तीन लीनियर कंस्ट्रेंट के बारे में बताता है:

Python

model.add(2 * x + 7 * y + 3 * z <= 50)
model.add(3 * x - 5 * y + 7 * z <= 45)
model.add(5 * x + 2 * y - 6 * z <= 37)

C++

cp_model.AddLessOrEqual(2 * x + 7 * y + 3 * z, 50);
cp_model.AddLessOrEqual(3 * x - 5 * y + 7 * z, 45);
cp_model.AddLessOrEqual(5 * x + 2 * y - 6 * z, 37);

Java

model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {2, 7, 3}), 50);
model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {3, -5, 7}), 45);
model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {5, 2, -6}), 37);

C#

model.Add(2 * x + 7 * y + 3 * z <= 50);
model.Add(3 * x - 5 * y + 7 * z <= 45);
model.Add(5 * x + 2 * y - 6 * z <= 37);

मकसद फ़ंक्शन तय करना

नीचे दिया गया कोड, सवाल के मकसद फ़ंक्शन के बारे में बताता है और उसे समस्या को हल करने में मदद करता है:

Python

model.maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z)

C++

cp_model.Maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z);

Java

model.maximize(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {2, 2, 3}));

C#

model.Maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z);

सॉल्वर को कॉल करें

नीचे दिए गए कोड से, सॉल्वर को कॉल किया जाता है.

Python

solver = cp_model.CpSolver()
status = solver.solve(model)

C++

const CpSolverResponse response = Solve(cp_model.Build());

Java

CpSolver solver = new CpSolver();
CpSolverStatus status = solver.solve(model);

C#

CpSolver solver = new CpSolver();
CpSolverStatus status = solver.Solve(model);

समाधान दिखाएं

नीचे दिया गया कोड नतीजे दिखाता है.

Python

if status == cp_model.OPTIMAL or status == cp_model.FEASIBLE:
    print(f"Maximum of objective function: {solver.objective_value}\n")
    print(f"x = {solver.value(x)}")
    print(f"y = {solver.value(y)}")
    print(f"z = {solver.value(z)}")
else:
    print("No solution found.")

C++

if (response.status() == CpSolverStatus::OPTIMAL ||
    response.status() == CpSolverStatus::FEASIBLE) {
  // Get the value of x in the solution.
  LOG(INFO) << "Maximum of objective function: "
            << response.objective_value();
  LOG(INFO) << "x = " << SolutionIntegerValue(response, x);
  LOG(INFO) << "y = " << SolutionIntegerValue(response, y);
  LOG(INFO) << "z = " << SolutionIntegerValue(response, z);
} else {
  LOG(INFO) << "No solution found.";
}

Java

if (status == CpSolverStatus.OPTIMAL || status == CpSolverStatus.FEASIBLE) {
  System.out.printf("Maximum of objective function: %f%n", solver.objectiveValue());
  System.out.println("x = " + solver.value(x));
  System.out.println("y = " + solver.value(y));
  System.out.println("z = " + solver.value(z));
} else {
  System.out.println("No solution found.");
}

C#

if (status == CpSolverStatus.Optimal || status == CpSolverStatus.Feasible)
{
    Console.WriteLine($"Maximum of objective function: {solver.ObjectiveValue}");
    Console.WriteLine("x = " + solver.Value(x));
    Console.WriteLine("y = " + solver.Value(y));
    Console.WriteLine("z = " + solver.Value(z));
}
else
{
    Console.WriteLine("No solution found.");
}

आउटपुट नीचे दिखाया गया है:

Maximum of objective function: 35

x value:  7
y value:  3
z value:  5

पूरा कार्यक्रम

पूरा प्रोग्राम नीचे दिखाया गया है.

Python

"""Simple solve."""
from ortools.sat.python import cp_model


def main() -> None:
    """Minimal CP-SAT example to showcase calling the solver."""
    # Creates the model.
    model = cp_model.CpModel()

    # Creates the variables.
    var_upper_bound = max(50, 45, 37)
    x = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "x")
    y = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "y")
    z = model.new_int_var(0, var_upper_bound, "z")

    # Creates the constraints.
    model.add(2 * x + 7 * y + 3 * z <= 50)
    model.add(3 * x - 5 * y + 7 * z <= 45)
    model.add(5 * x + 2 * y - 6 * z <= 37)

    model.maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z)

    # Creates a solver and solves the model.
    solver = cp_model.CpSolver()
    status = solver.solve(model)

    if status == cp_model.OPTIMAL or status == cp_model.FEASIBLE:
        print(f"Maximum of objective function: {solver.objective_value}\n")
        print(f"x = {solver.value(x)}")
        print(f"y = {solver.value(y)}")
        print(f"z = {solver.value(z)}")
    else:
        print("No solution found.")

    # Statistics.
    print("\nStatistics")
    print(f"  status   : {solver.status_name(status)}")
    print(f"  conflicts: {solver.num_conflicts}")
    print(f"  branches : {solver.num_branches}")
    print(f"  wall time: {solver.wall_time} s")


if __name__ == "__main__":
    main()

C++

#include <stdint.h>
#include <stdlib.h>

#include <algorithm>

#include "ortools/base/logging.h"
#include "ortools/sat/cp_model.h"
#include "ortools/sat/cp_model.pb.h"
#include "ortools/sat/cp_model_solver.h"
#include "ortools/util/sorted_interval_list.h"

namespace operations_research {
namespace sat {

void CpSatExample() {
  CpModelBuilder cp_model;

  int64_t var_upper_bound = std::max({50, 45, 37});
  const Domain domain(0, var_upper_bound);
  const IntVar x = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("x");
  const IntVar y = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("y");
  const IntVar z = cp_model.NewIntVar(domain).WithName("z");

  cp_model.AddLessOrEqual(2 * x + 7 * y + 3 * z, 50);
  cp_model.AddLessOrEqual(3 * x - 5 * y + 7 * z, 45);
  cp_model.AddLessOrEqual(5 * x + 2 * y - 6 * z, 37);

  cp_model.Maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z);

  // Solving part.
  const CpSolverResponse response = Solve(cp_model.Build());

  if (response.status() == CpSolverStatus::OPTIMAL ||
      response.status() == CpSolverStatus::FEASIBLE) {
    // Get the value of x in the solution.
    LOG(INFO) << "Maximum of objective function: "
              << response.objective_value();
    LOG(INFO) << "x = " << SolutionIntegerValue(response, x);
    LOG(INFO) << "y = " << SolutionIntegerValue(response, y);
    LOG(INFO) << "z = " << SolutionIntegerValue(response, z);
  } else {
    LOG(INFO) << "No solution found.";
  }

  // Statistics.
  LOG(INFO) << "Statistics";
  LOG(INFO) << CpSolverResponseStats(response);
}

}  // namespace sat
}  // namespace operations_research

int main() {
  operations_research::sat::CpSatExample();
  return EXIT_SUCCESS;
}

Java

package com.google.ortools.sat.samples;
import static java.util.Arrays.stream;

import com.google.ortools.Loader;
import com.google.ortools.sat.CpModel;
import com.google.ortools.sat.CpSolver;
import com.google.ortools.sat.CpSolverStatus;
import com.google.ortools.sat.IntVar;
import com.google.ortools.sat.LinearExpr;

/** Minimal CP-SAT example to showcase calling the solver. */
public final class CpSatExample {
  public static void main(String[] args) {
    Loader.loadNativeLibraries();
    // Create the model.
    CpModel model = new CpModel();

    // Create the variables.
    int varUpperBound = stream(new int[] {50, 45, 37}).max().getAsInt();

    IntVar x = model.newIntVar(0, varUpperBound, "x");
    IntVar y = model.newIntVar(0, varUpperBound, "y");
    IntVar z = model.newIntVar(0, varUpperBound, "z");

    // Create the constraints.
    model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {2, 7, 3}), 50);
    model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {3, -5, 7}), 45);
    model.addLessOrEqual(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {5, 2, -6}), 37);

    model.maximize(LinearExpr.weightedSum(new IntVar[] {x, y, z}, new long[] {2, 2, 3}));

    // Create a solver and solve the model.
    CpSolver solver = new CpSolver();
    CpSolverStatus status = solver.solve(model);

    if (status == CpSolverStatus.OPTIMAL || status == CpSolverStatus.FEASIBLE) {
      System.out.printf("Maximum of objective function: %f%n", solver.objectiveValue());
      System.out.println("x = " + solver.value(x));
      System.out.println("y = " + solver.value(y));
      System.out.println("z = " + solver.value(z));
    } else {
      System.out.println("No solution found.");
    }

    // Statistics.
    System.out.println("Statistics");
    System.out.printf("  conflicts: %d%n", solver.numConflicts());
    System.out.printf("  branches : %d%n", solver.numBranches());
    System.out.printf("  wall time: %f s%n", solver.wallTime());
  }

  private CpSatExample() {}
}

C#

using System;
using System.Linq;
using Google.OrTools.Sat;

public class CpSatExample
{
    static void Main()
    {
        // Creates the model.
        CpModel model = new CpModel();

        // Creates the variables.
        int varUpperBound = new int[] { 50, 45, 37 }.Max();

        IntVar x = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "x");
        IntVar y = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "y");
        IntVar z = model.NewIntVar(0, varUpperBound, "z");

        // Creates the constraints.
        model.Add(2 * x + 7 * y + 3 * z <= 50);
        model.Add(3 * x - 5 * y + 7 * z <= 45);
        model.Add(5 * x + 2 * y - 6 * z <= 37);

        model.Maximize(2 * x + 2 * y + 3 * z);

        // Creates a solver and solves the model.
        CpSolver solver = new CpSolver();
        CpSolverStatus status = solver.Solve(model);

        if (status == CpSolverStatus.Optimal || status == CpSolverStatus.Feasible)
        {
            Console.WriteLine($"Maximum of objective function: {solver.ObjectiveValue}");
            Console.WriteLine("x = " + solver.Value(x));
            Console.WriteLine("y = " + solver.Value(y));
            Console.WriteLine("z = " + solver.Value(z));
        }
        else
        {
            Console.WriteLine("No solution found.");
        }

        Console.WriteLine("Statistics");
        Console.WriteLine($"  conflicts: {solver.NumConflicts()}");
        Console.WriteLine($"  branches : {solver.NumBranches()}");
        Console.WriteLine($"  wall time: {solver.WallTime()}s");
    }
}