Selon les hypothèses d'échangeabilité et de cohérence, l'attente conditionnelle de tout résultat potentiel \(\overset \sim Y_{g,t}^{
\left(\left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\}\right) }\) peut être écrite comme une attente conditionnelle pouvant être estimée par un modèle de régression, où \(x_{g,t,i}^{(\ast)}\) représente l'ensemble de variables de traitement d'intervention : traitements média, média naturel et non média. À des fins de démonstration, nous partons du principe que les canaux média payant et média naturel sont basés sur les impressions, bien que les informations suivantes s'appliquent également aux canaux basés sur la couverture et la fréquence.
À partir des définitions décrites dans Données d'entrée, vous pouvez écrire cela comme suit :
$$
\begin{align*}
\overset \sim Y_{g,t} &= u_{g,t}^{[Y]} \overset {\cdot \cdot} Y_{g,t} \\
&= u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}(Y_{g,t})
\end{align*}
$$
Meridian utilise également le fait que la fonction de transformation du KPI pré-modélisation \(L_{g,t}^{[Y]}(\cdot)\) est linéaire et qu'elle peut donc être transmise en dehors de l'opérateur d'attente conditionnelle. On obtient alors l'égalité suivante, où le résultat est une quantité qui peut être estimée à partir d'un modèle de régression, tel que le modèle Meridian :
$$
\begin{align*}
E\left(\overset \sim Y_{g,t}^{(\left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\})} \Big|
\bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right)
&= E\left( \overset \sim Y_{g,t} \Big|
\bigl\{x_{g,t,i}^{(\ast)}\bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right) \\
&= E\left( u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}(Y_{g,t}) \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right) \\
&= u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} E\left( Y_{g,t} \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right)
\end{align*}
$$
Sur cette base, la régression peut être utilisée pour estimer le résultat incrémental entre les deux scénarios contrefactuels \(\left\{ x_{g,t,i}^{(1)} \right\}\) et \(\left\{ x_{g,t,i}^{(0)} \right\}\) :
$$
\begin{align*}
\text{IncrementalOutcome} \left( \bigl\{ x_{g,t,i}^{(1)} \bigr\},
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(0)} \bigr\} \right)
&= E\left( \sum\limits_{g,t}\left( \overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{(1)} \right\} \right)
} - \overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{(0)} \right\} \right)
} \right) \Bigg| \bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right) \\
&= \sum\limits_{g,t}u_{g,t}^{[Y]}L_g^{[Y]-1}
\left( E\left( Y_{g,t} \Big| \bigl\{ x_{g,t,i}^{(1)} \bigr\},
\bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right)\right) -
\sum\limits_{g,t}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}
\left( E\left( Y_{g,t} \Big| \bigl\{ x_{g,t,i}^{(0)} \bigr\},
\bigl\{ z_{g,t,c} \bigr\}
\right) \right)
\end{align*}
$$
Selon la spécification du modèle Meridian :
$$
\begin{align*}
E\left( Y_{g,t} \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right) =
\mu_t &+ \tau_g + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma^{[C]}_{g,i}z_{g,t,i} \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_N} \gamma^{[N]}_{g,i}x^{[N] (\ast)}_{g,t,i} \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta^{[M]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\bigl\{ x^{[M] (\ast)}_{g,t-s,i} \bigr\}^L_{s=0};\ \alpha^{[M]}_i, ec^{[M]}_i, \text{slope}^{[M]}_i
\right) \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_{OM}} \beta^{[OM]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\bigl\{ x^{[OM] (\ast)}_{g,t-s,i} \bigr\}^L_{s=0};\ \alpha^{[OM]}_i, ec^{[OM]}_i, \text{slope}^{[OM]}_i
\right)
\end{align*}
$$
Cette quantité est une fonction des paramètres du modèle et possède donc une distribution a posteriori que Meridian peut échantillonner à l'aide de la méthode de la chaîne de Markov Monte Carlo (MCMC, Markov Chain Monte Carlo). Le ROI, le ROIm et les courbes de réponse peuvent tous être calculés en fonction de la définition du résultat incrémental. Chacune de ces quantités possède également une distribution a posteriori.
