简化正则化 (Regularization for Simplicity):L₂ 正则化

请查看以下泛化曲线,该曲线显示的是训练集和验证集相对于训练迭代次数的损失。

训练集的损失函数逐渐下降。相比之下,验证集的损失函数先下降,然后开始上升。

图 1. 训练集和验证集损失。

图 1 显示的是某个模型的训练损失逐渐减少,但验证损失最终增加。换言之,该泛化曲线显示该模型与训练集中的数据过拟合。根据奥卡姆剃刀定律,或许我们可以通过降低复杂模型的复杂度来防止过拟合,这种原则称为正则化

也就是说,并非只是以最小化损失(经验风险最小化)为目标:

$$\text{minimize(Loss(Data|Model))}$$

而是以最小化损失和复杂度为目标,这称为结构风险最小化

$$\text{minimize(Loss(Data|Model) + complexity(Model))}$$

现在,我们的训练优化算法是一个由两项内容组成的函数:一个是损失项,用于衡量模型与数据的拟合度,另一个是正则化项,用于衡量模型复杂度。

机器学习速成课程重点介绍了两种衡量模型复杂度的常见方式(这两种方式有些相关):

  • 将模型复杂度作为模型中所有特征的权重的函数。
  • 将模型复杂度作为具有非零权重的特征总数的函数。后面的一个单元介绍了这种方法。)

如果模型复杂度是权重的函数,则特征权重的绝对值越高,对模型复杂度的贡献就越大。

我们可以使用 L2 正则化公式来量化复杂度,该公式将正则化项定义为所有特征权重的平方和:

$$L_2\text{ regularization term} = ||\boldsymbol w||_2^2 = {w_1^2 + w_2^2 + ... + w_n^2}$$

在这个公式中,接近于 0 的权重对模型复杂度几乎没有影响,而离群值权重则可能会产生巨大的影响。

例如,某个线性模型具有以下权重:

$$\{w_1 = 0.2, w_2 = 0.5, w_3 = 5, w_4 = 1, w_5 = 0.25, w_6 = 0.75\}$$

L2 正则化项为 26.915:

$$w_1^2 + w_2^2 + \boldsymbol{w_3^2} + w_4^2 + w_5^2 + w_6^2$$ $$= 0.2^2 + 0.5^2 + \boldsymbol{5^2} + 1^2 + 0.25^2 + 0.75^2$$ $$= 0.04 + 0.25 + \boldsymbol{25} + 1 + 0.0625 + 0.5625$$ $$= 26.915$$

但是 \(w_3\)(上述加粗内容)的平方值为 25,几乎贡献了全部的复杂度。所有 5 个其他权重的平方和对 L2 正则化项的贡献仅为 1.915。