Для конкретного медиаканала \(q\), дополнительный результат определяется как:
\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]
Где:
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) наблюдаемые медиа-ценности
- \(\left\{ x_{g,t,m}^{[M] (0,q)} \right\}\) обозначает наблюдаемые значения медиа для всех каналов, кроме канала \(q\), который везде равен нулю. Более конкретно:
- \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
- \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)
Окупаемость канала \(q\) определяется как:
\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]
Где \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)
Обратите внимание, что знаменатель рентабельности инвестиций представляет собой стоимость рекламы за определенный период времени, который соответствует периоду времени, в течение которого определяется дополнительный результат. В результате добавочный результат в числителе включает запаздывающий эффект мультимедиа, выполненного до этого временного окна, и аналогичным образом исключает будущий эффект мультимедиа, выполненного в течение этого временного окна. Таким образом, дополнительный результат в числителе не совсем совпадает с затратами в знаменателе. Однако это смещение будет менее существенным в течение достаточно длительного периода времени.
Обратите внимание, что контрафактный медиа-сценарий (\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)) фактически не могут быть представлены в данных. Когда это происходит, необходима экстраполяция, основанная на предположениях модели, чтобы сделать вывод об обратном.
Обобщая определение дополнительных результатов, кривая отклика определяется для канала \(q\) как функция, которая возвращает дополнительный результат как функцию расходов на канал \(q\):
\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]
Где \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) обозначает наблюдаемые значения медиа для всех каналов, кроме канала \(q\), который умножается на коэффициент \(\omega\) повсюду. Более конкретно:
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)
Предельная рентабельность инвестиций в канал \(q\) определяется как:
Где \(\delta\) это небольшое количество, например \(0.01\).
Обратите внимание, что определения кривой отклика и предельной рентабельности инвестиций неявно предполагают постоянную стоимость за единицу СМИ, которая равна исторической средней стоимости за единицу СМИ.