メリディアンの予算最適化では、一連の地域と期間におけるチャネルごとの最適な合計予算が推定されます。予算最適化では、各チャネルのフライティング パターンが固定されており、メディア単価がチャネルに割り当てられた予算に依存しないことが前提とされています（メディア単価は地域または期間あるいはその両方によって異なる場合がありますが、チャネルに割り当てられた予算には依存しません）。これらの前提に基づいて、特定のチャネルの予算が各地域と期間のメディア単位数にどのように変換されるかが決まります。
チャネルのフライティング パターンは、地域と期間にわたるメディア単位の相対的な割り当てとして定義されます。デフォルトでは、最適化は一連の地域と期間の過去のデータに基づいて行われ、過去のフライティング パターンが想定されます。ただし、フライティング パターンはカスタマイズ可能で、過去の期間とは異なる期間を含めることができます。たとえば、予算プランにおける今後の期間に対応する仮想のフライティング パターンを指定できます。
チャンネルのメディア単価は、指定された入力データから推論されます。地域または期間、あるいはその両方によって異なる場合があります（ただし、必ずしもそうである必要はありません）。デフォルトでは、最適化は一連の地域と期間の過去のデータに基いて行われ、過去のメディア単価が想定されます。ただし、メディア単価は、将来の予測費用などを反映するようにカスタマイズできます。
フライティング パターンとメディア単価は次のように適用されます。一連の地域 \(G\) と期間 \([t_0,t_1]\)のメディア チャネル \(N_M\) の予算最適化を計算するとします。予算ベクトル\(b=(b_1,\ldots b_{N_M})\) について考えてみましょう。ここで、 \(b_i \geq 0\) は、これらの地域と期間にわたってチャネル \(i\) に割り当てられた合計予算を表します。\(c_i=\sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}\ \ddot{x}^{[M]}_{g,t,i}
u_{g,t,i}^{[M]}\) は、最適化対象の地域と期間における各チャネルの実際の過去の予算 \(i\) です。予算ベクトル \(b\)で各地域と期間のメディア単位を取得するには、各チャネルの過去のメディア単位を比率 \(\frac{b_i}{c_i}\)でスケーリングします。
それに合わせて、指定された予算ベクトル \(b\)の元のメディア単位を次のように定義します。
\( \ddot{x}_{g,t,i}^{[b]} = \dfrac{\ddot{x}^{[M]}_{g,t,i}b_i }{c_i}\) （\(t \in [t_0-L,t_1] \)）
これに対応する変換後のメディア単位は次のようになります。
\( x_{g,t,m}^{[b]} = L_{g,i}^{[M]}\left( \ddot{x}_{g,t,i}^{[b]} \right) =
\dfrac{x_{g,t,i}b_i}{c_i} \)
メディア単位は、 \(t_0\)より前の期間も含め、すべての期間でスケーリングされます。予算 \(C\) は期間\([t_0,t_1],\) に対応し、このシナリオでは同じ期間に想定される結果 \([t_0,t_1]\)が達成されます。これには、 \(t_0\)より前のメディア マーケティングによって発生した結果が含まれますが、\(t_1\)以降のメディアの遅延効果は除外されます。そのため、想定される結果は予算に完全に対応するわけではありませんが、期間が長い場合や、 \([t_0-L,t_0-1]\) のメディア マーケティングが\([t_1+1,t_1+L]\)のメディア マーケティングと類似している場合は、類似する値になります。
この定義にはメリットとデメリットがありますが、メリットとしては、想定される結果が、不明になる可能性がある \(t_1\)以降の将来のメディア マーケティングには依存しない点が挙げられます。これは、\(t_1\) 以降のメディア マーケティングによって、\([t_1+1,t_1+L]\)中のメディア マーケティングの遅延効果が変わる可能性がある、hill_before_adstock=False の場合に特に問題になります。
固定予算の最適化
合計予算 \(C\)として、固定予算を最適化する場合を考えてみます。この合計予算を使用して、すべての予算ベクトルのセットを \( B_C = \left\{ b:
\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i=C \right\} \)として定義します。最適化される量は、想定される結果であり、次のように定義されます。
$$
\begin{multline*}
\text{ExpectedOutcome}(b) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E \left(
\overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{[b]} \right\} \right)
} \Bigg| \{z_{g,t,i}\}
\right) \\
= \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[y]-1}
\left(
\mu_t + \tau_g + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma^{[C]}_{g,i}z_{g,t,i}\ +
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta^{[M]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha^{M}_i, ec^{[M]}_i, \text{slope}^{[M]}_i
\right)
\right)
\end{multline*}
$$
実際のパラメータ値は不明です。メリディアンはベイズモデルであるため、想定される結果には事後分布があります。予算最適化の目的関数は、想定される結果の事後分布の平均（事後予測結果分布の平均に相当）として選択されます。最適な予算ベクトルは次のように定義されます。
$$
\begin{align*}
b_{optimal} = \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ &
E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\
= \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\mu_t^{(j)} +
\tau_g^{(j)} +
\sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\& +
\sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\Biggl) \\
= \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\right)
\end{align*}
$$
詳細は次のとおりです。
- \(J\) は、マルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）の事後分布の抽出の合計数です。
- 各パラメータの \(j\)事後分布の抽出は、上付き記号 \(^{(j)}\)で表されます。
柔軟な予算の最適化
柔軟な予算の最適化では、合計予算を変動させながら、想定される結果が最適化されます。最適化は、最小限界費用対効果または目標費用対効果の制約によって制限されます。
目標費用対効果による制約
目標費用対効果が指定されている場合、メリディアンは、合計予算 \(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\)を変更しながら、合計費用対効果が \(\text{ROI} \geq
\text{ROI}_{target}\
\forall m\)になるように、すべての予算ベクトル \(b=(b_1,\ldots ,b_{N_M})\) を検索します。最適な予算ベクトルは次のように定義されます。
$$
\begin{align*}
b_{optimal} = \underset{b}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\
= \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\mu_t^{(j)} +
\tau_g^{(j)} +
\sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\ & +
\sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec^{[M](j)}_i, \text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\Biggl) \\
= \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},ec_i^{[M](j)},\text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\right) \\
\end{align*}
$$
\( s.t.\ \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{ExpectedOutcome}_i}{
\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)
目標費用対効果による制約は、チャネルレベルではなく、マーケティングの合計費用対効果レベルで適用されます。
最小限界費用対効果による制約
最小限界費用対効果が指定されている場合、メリディアンは、合計予算 \(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) を変動させながら、限界費用対効果が\(\text{mROI}_i \geq \text{mROI}_{minimal}\ \forall i\)となるように、すべての予算ベクトル \(b=(b_1,\dots,b_{N_M})\) を検索します。最適な予算ベクトルは次のように定義されます。
$$
\begin{align*}
b_{optimal} = \underset{b}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\
= \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\mu_t^{(j)} +
\tau_g^{(j)} +
\sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\ & +
\sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\Biggl) \\
= \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},ec_i^{[M](j)},\text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\right) \\
\end{align*}
$$
\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i \)
最小限界費用対効果は、マーケティング全体のレベルではなく、チャネルレベルで適用されます。
チャネルレベルの費用による制約
チャネルレベルの費用による制約は、固定予算と柔軟な予算の両方の最適化で適用できます。これを適用すると、すべての費用を 1 つのチャネルに投入するなど、非合理的な最適化結果を防ぐことができます。チャネルレベルの費用による制約は次のように定義されます。
$$
(b_i^{'} \times LB_i) \leq b_i \leq (b_i{'} \times UB_i) \space \forall i
$$
詳細は次のとおりです。
- \(b_i^{'}\) は、チャネル \(i\)の最適化されていない費用です。
- \(LB_i\) は、 \(0\)～ \(1\)の値になるユーザー指定の下限です。
- \(UB_i\) は、\(1\)より大きい値になるユーザー指定の上限です。
