Optimisation pour les canaux média sans données de couverture et de fréquence

Imaginons que vous souhaitiez calculer l'optimisation de budget des canaux média $N_M$ pour l'ensemble de régions $G$ et l'intervalle de temps $[t_0,t_1]$. Considérez n'importe quel vecteur budgétaire $b=(b_1,\ldots b_{N_M})$, où $b_i \geq 0$ désigne le budget total alloué au canal $i$ pour ces régions et ces périodes. $c_i=\sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}\ \ddot{x}^{[M]}_{g,t,i} u_{g,t,i}^{[M]}$ correspond au budget historique réel de chaque canal $i$ pour les régions et les périodes d'optimisation. Afin d'obtenir les unités média pour chaque zone géographique et période selon le vecteur budgétaire $b$, vous devez mettre à l'échelle les unités média historiques de chaque canal en fonction du ratio $\frac{b_i}{c_i}$.

En conséquence, vous définissez les unités média brutes selon un vecteur budgétaire donné $b$comme suit :

$ \ddot{x}_{g,t,i}^{[b]} = \dfrac{\ddot{x}^{[M]}_{g,t,i}b_i }{c_i}$ pour $t \in [t_0-L,t_1] $

et les unités média transformées correspondantes comme suit :

$ x_{g,t,m}^{[b]} = L_{g,i}^{[M]}\left( \ddot{x}_{g,t,i}^{[b]} \right) = \dfrac{x_{g,t,i}b_i}{c_i} $

Les unités média sont mises à l'échelle pour toutes les périodes, y compris celles antérieures à $t_0$. Le budget $C$ correspond à l'intervalle de temps $[t_0,t_1],$ et ce scénario tient compte du résultat attendu généré au cours du même intervalle $[t_0,t_1]$. Cela inclut le résultat généré par les médias exécutés avant $t_0$, mais exclut l'effet différé des médias au-delà de $t_1$. Par conséquent, le résultat attendu ne correspond pas exactement au budget, mais il devrait être similaire si l'intervalle de temps est long ou si l'exécution média pendant $[t_0-L,t_0-1]$ est semblable à celle pendant $[t_1+1,t_1+L]$.

Cette définition présente des avantages et des inconvénients, mais l'un de ses avantages est que le résultat attendu ne dépend pas des futures exécutions média au-delà de $t_1$, qui peuvent être inconnues. Cela pose particulièrement problème lorsque hill_before_adstock=False, où l'exécution média après $t_1$ peut modifier l'effet différé des médias exécutés pendant $[t_1+1,t_1+L]$.

Optimisation du budget fixe

Envisagez une optimisation du budget fixe avec un budget total $C$. Définissez l'ensemble de tous les vecteurs budgétaires avec ce budget total défini comme $ B_C = \left\{ b: \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i=C \right\} $. La quantité optimisée correspond au résultat attendu, qui est défini comme suit :

$$ \begin{multline*} \text{ExpectedOutcome}(b) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E \left( \overset \sim Y_{g,t}^{ \left( \left\{ x_{g,t,i}^{[b]} \right\} \right) } \Bigg| \{z_{g,t,i}\} \right) \\ = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[y]-1} \left( \mu_t + \tau_g + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma^{[C]}_{g,i}z_{g,t,i}\ + \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta^{[M]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha^{M}_i, ec^{[M]}_i, \text{slope}^{[M]}_i \right) \right) \end{multline*} $$

Les valeurs réelles des paramètres sont inconnues. Meridian étant un modèle bayésien, les résultats attendus ont une distribution a posteriori. La fonction objectif de l'optimisation du budget est choisie pour correspondre à la moyenne a posteriori des résultats attendus, ce qui équivaut à la moyenne de la distribution des résultats prédictifs a posteriori. Le vecteur budgétaire optimal est défini comme suit :

$$ \begin{align*} b_{optimal} = \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\ = \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \mu_t^{(j)} + \tau_g^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\& + \sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \right) \Biggl) \\ = \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \right) \right) \end{align*} $$

Où :

$J$ correspond au nombre total de tirages a posteriori de la chaîne de Markov Monte Carlo (MCMC, Markov Chain Monte Carlo).
Le $j$^e tirage a posteriori de chaque paramètre est indiqué par l'exposant $^{(j)}$.

Optimisation du budget flexible

Pour l'optimisation du budget flexible, le résultat attendu est optimisé tout en permettant au budget total de varier. L'optimisation est limitée par le ROI marginal minimal ou par les contraintes de ROI cible.

Contrainte de ROI cible

Lorsque le ROI cible est spécifié, Meridian recherche tous les vecteurs budgétaires $b=(b_1,\ldots ,b_{N_M})$ de sorte que le ROI total $\text{ROI} \geq \text{ROI}_{target}\ \forall m$, tout en permettant au budget global $\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i$ de varier. Le vecteur budgétaire optimal est défini comme suit :

$$ \begin{align*} b_{optimal} = \underset{b}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\ = \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \mu_t^{(j)} + \tau_g^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\ & + \sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec^{[M](j)}_i, \text{slope}_i^{[M](j)} \right) \Biggl) \\ = \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)},ec_i^{[M](j)},\text{slope}_i^{[M](j)} \right) \right) \\ \end{align*} $$

$ s.t.\ \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{ExpectedOutcome}_i}{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} $

La contrainte de ROI cible est appliquée au niveau du ROI marketing global, et non au niveau du canal.

Contrainte de ROIm minimal

Lorsque le ROI marginal minimal est spécifié, Meridian recherche tous les vecteurs budgétaires $b=(b_1,\dots,b_{N_M})$ de sorte que le ROI marginal $\text{mROI}_i \geq \text{mROI}_{minimal}\ \forall i$, tout en permettant au budget global $\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i$ de varier. Le vecteur budgétaire optimal est défini comme suit :

$$ \begin{align*} b_{optimal} = \underset{b}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\ = \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \mu_t^{(j)} + \tau_g^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\ & + \sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \right) \Biggl) \\ = \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left( \left\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \right\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)},ec_i^{[M](j)},\text{slope}_i^{[M](j)} \right) \right) \\ \end{align*} $$

$ s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i $

Où le ROIm minimal est appliqué au niveau du canal et non au niveau du ROI marketing global.

Contraintes de dépenses au niveau du canal

Les contraintes de dépenses au niveau du canal sont disponibles pour l'optimisation des budgets fixes et flexibles afin d'éviter des résultats d'optimisation déraisonnables (concentration de toutes les dépenses sur un seul canal, par exemple). La contrainte de dépenses au niveau du canal est définie comme suit :

$$ (b_i^{'} \times LB_i) \leq b_i \leq (b_i{'} \times UB_i) \space \forall i $$