Optimisation pour les canaux média avec données de couverture et de fréquence

Pour les canaux média disposant de données de couverture et de fréquence, il est possible d'optimiser la fréquence moyenne cible des annonces en plus de la répartition du budget entre les canaux. Toutefois, le fait que des données de couverture et de fréquence soient disponibles pour un canal ne signifie pas forcément qu'un annonceur dispose d'un niveau de contrôle élevé sur la fréquence moyenne. Meridian permet d'optimiser le budget en utilisant soit la fréquence moyenne optimale, soit la fréquence moyenne historique pour chaque canal.

• Pour chaque canal où la fréquence moyenne historique est utilisée, nous partons du principe que la fréquence moyenne dans chaque région et chaque période reste constante, quelle que soit la répartition du budget.

• Pour chaque canal où l'optimisation de la fréquence est privilégiée, Meridian détermine d'abord la valeur de fréquence optimale. Cette optimisation contraint la fréquence optimale à être égale pour toutes les régions et toutes les périodes. Cette restriction a deux finalités : obtenir une stratégie de fréquence cible plus pratique à implémenter et rendre la routine d'optimisation plus facile à gérer. D'après les spécifications du modèle Meridian, il s'avère que la fréquence optimale ne dépend pas de la répartition du budget.

Dans les deux cas, l'hypothèse est la suivante : pour n'importe quel niveau de budget donné, les impressions sont attribuées en fonction du modèle de diffusion historique pour les différentes zones géographiques et périodes. Supposons que vous souhaitiez calculer une optimisation de budget pour un ensemble de régions $G$ et un intervalle de temps \([t_0,t_1]\). \(c_i^{[RF]}= \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t,i}^{[RF]} \cdot \ddot r_{g,t,i}^{[RF]} \cdot f_{g,t,i}^{[RF]}\) correspond au budget historique réel de chaque canal $i$ pour les régions et périodes d'optimisation. La proposition de répartition de budget entre tous les canaux est exprimée sous la forme d'une paire de vecteurs\(b=(b_1,\ldots b_{N_{RF}})\) et \(b^{[RF]}=(b_1^{[RF]}, \ldots b_{N_{RF}}^{[RF]})\), et d'une proposition d'ensemble de cibles de fréquence moyenne sous la forme\(f=\{f_{g,t,i}^{\ast}\}\), où \(f_{g,t,i}^* \geq 1\ \forall g,t,i\). L'astérisque permet de distinguer la fréquence proposée de la fréquence historique.

En utilisant le modèle de diffusion historique, la couverture pour chaque zone géographique et chaque période est définie comme suit :

\(\ddot r_{g,t,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} = \dfrac{ \ddot r_{g,t,n}^{[RF]} f_{g,t,n}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,n}^*c_i^{[RF]} }\) pour \(t \in [t_0-L,t_1]\)

et les unités média transformées correspondantes comme suit :

\(r_{g,t,n}^{(b^{[RF]},f)} = L_{g,i}^{[RF]}\left(\ddot r_{g,t,i}^{[b,f]}\right) = \dfrac{ r_{g,t,i}^{[RF]} f_{g,t,i}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,i}^*c_i^{[RF]} }\)

Fréquence optimale

Le résultat attendu constitue désormais une fonction des vecteurs budgétaires \(b\) et\(b^{[RF]}\) , ainsi que des fréquences cibles \(f\) :

$$ \begin{multline*} E(\text{ExpectedOutcome}(b,b^{[RF]},f)| \text{Data}) = \\ \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \tau_g^{(j)} + \mu_t^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} + \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^*; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{multline*} $$

Pour une répartition de budget et un ensemble de fréquences cibles donnés, la fréquence optimale du \(i^{th}\) canal est définie comme suit :

$$ \begin{align*} f_{optimal,i} &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ E \left( \text{ExpectedOutcome} \left( b, b^{[RF]}, f \right) \Big| \text{Data} \right) \\ &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ \dfrac{ r_{g,t-s,i}^{[RF]} f_{g,t-s,i}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{ f_i c_i^{[RF]} } \text{Hill} \Bigl( f_i; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \\ &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ \frac{b_i^{[RF]}}{c_i^{[RF]}} \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ \dfrac{ r_{g,t-s,i}^{[RF]} f_{g,t-s,i}^{[RF]} }{ f_i } \text{Hill} \Bigl( f_i; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\(b_i^{[RF]}\) et \(c_i^{[RF]}\) étant complètement exclus de la fonction objectif, la fréquence optimale ne dépend pas de la répartition du budget. Il est donc possible de déterminer d'abord les fréquences optimales, puis d'intégrer ces valeurs à la fonction du résultat attendu afin d'optimiser la répartition du budget.

Optimisation du budget fixe

Envisagez une optimisation du budget fixe avec un budget total \(C\). Définissez l'ensemble de tous les vecteurs budgétaires avec ce budget total défini comme \(B_C = \left\{b, b^{(rf)}: \sum\limits_{m=1}^M b_m + \sum\limits_{n=1}^Nb_n^{(rf)}=C \right\}\). Meridian permet d'optimiser le budget en utilisant soit la fréquence moyenne optimale, soit la fréquence moyenne historique pour chaque canal. La quantité optimisée correspond au résultat attendu (en supposant que la fréquence peut être optimale ou historique), qui est défini comme suit : tous les vecteurs budgétaires avec ce budget total défini comme \(B_C = \left\{b, b^{[RF]}: \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} b_i^{[RF]}=C \right\}\). Meridian permet d'optimiser le budget en utilisant soit la fréquence moyenne optimale, soit la fréquence moyenne historique pour chaque canal. La quantité optimisée correspond au résultat attendu (en supposant que la fréquence peut être optimale ou historique), qui sont définis comme suit :

Résultat attendu pour la fréquence optimale :

\(EO_ \text{optimalfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{ x_{g,t,i}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],\text{optimal}]}, f_{\text{optimal},i} \right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)

Résultat attendu pour la fréquence historique :

\(EO_ \text{historialfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{ x_{g,t,m}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],f]}, f^{[RF]}_{g,t,i} \right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)

Où \(f_{\text{optimal},i}\) et \(f_{g,t,i}\) sont des propriétés prédéfinies représentant la fréquence optimale et la fréquence historique pour le \(i\)^e

Il existe donc deux paramètres : \(b\) et \(b^{[RF]}\).

Les valeurs réelles des paramètres sont inconnues. Meridian estime le résultat attendu à l'aide d'une distribution a posteriori. Pour optimiser le budget, la moyenne a posteriori des revenus attendus est utilisée comme fonction objectif. Le vecteur budgétaire optimal est défini comme suit.

Répartition optimale du budget lorsque la fréquence optimale est utilisée :

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b,b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal} \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

Répartition optimale du budget lorsque la fréquence historique est utilisée :

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_{historicalfreq}\left( b,b^{[RF]} \right) \Big| Data \right] \\ = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

Où :

• \(J\) est défini comme le nombre total de tirages MCMC a posteriori.
• Le \(j\)^e tirage a posteriori de chaque paramètre est indiqué par l'exposant \(^{(j)}\).

Optimisation du budget flexible

Pour l'optimisation du budget flexible, le résultat attendu est optimisé tout en permettant au budget total de varier. Le processus d'optimisation est soumis à des contraintes imposées par le retour sur investissement (ROI) marginal minimal ou par le ROI cible. De plus, l'optimisation prend en compte la fréquence moyenne optimale ou la fréquence moyenne historique pour chaque canal.

Contrainte de ROI cible

Lorsque le ROI cible est spécifié. Cela signifie que Meridian recherche tous les vecteurs budgétaires, \(b=(b_1,\ldots,b_{N_M})\) tels que le ROI total \(ROI \geq ROI_{target}\ \forall i\), tout en permettant au budget global\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) de varier. Le vecteur budgétaire optimal est défini comme suit.

Répartition optimale du budget lorsque la fréquence optimale est utilisée :

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal}\right)} Hill \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)

Répartition optimale du budget lorsque la fréquence historique est utilisée :

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_{\text{optimal}}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{historicalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)

La contrainte de ROI cible est appliquée au niveau du ROI marketing global, et non au niveau du canal.

Contrainte de ROIm minimal

Lorsque le ROI marginal minimal est spécifié, Meridian recherche tous les vecteurs budgétaires, \(b=(b_1, \ldots, b_{N_M})\) tels que le ROI marginal\(mROI_i \geq mROI_{minimal}\ \forall i\), tout en permettant au budget global\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) de varier. Le vecteur budgétaire optimal est défini comme suit :

Répartition optimale du budget lorsque la fréquence optimale est utilisée :

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b,b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal}\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_\text{minimal}\ \forall i \)

Répartition optimale du budget lorsque la fréquence historique est utilisée :

$$ \begin{align*} b_\text{optimal}, b_\text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_\text{historicalfreq}\left(b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i \)

Où le ROIm minimal est appliqué au niveau du canal et non au niveau du ROI marketing global.

Contraintes de dépenses au niveau du canal

Les contraintes de dépenses au niveau du canal sont disponibles pour l'optimisation des budgets fixes et flexibles afin d'éviter des résultats d'optimisation déraisonnables (concentration de toutes les dépenses sur un seul canal, par exemple). La contrainte de dépenses au niveau du canal est définie comme suit :

$$ (b_i^{'} \times LB_i) \leq b_i \leq (b_i^{'} \times UB_i) \space \forall i $$

Où :

• \(b_i^{'}\) correspond aux dépenses non optimisées pour le canal $i$.
• \(LB_i\) correspond à la limite inférieure spécifiée par l'utilisateur, avec une valeur comprise entre \(0\)et \(1\).
• \(UB_i\) correspond à la limite supérieure spécifiée par l'utilisateur, avec une valeur supérieure à\(1\).