媒体饱和度与滞后

通常情况下，媒体渠道对销售的影响具有滞后效应，随着时间的推移会慢慢减弱。Meridian 的模型结构旨在通过几何衰减 Adstock 函数来捕捉这种效应。如需了解详情，请参阅“A Hierarchical Bayesian Approach to Improve Media Mix Models Using Category Data”（使用类别数据改进媒体组合模型的分层贝叶斯方法）和“Bayesian Methods for Media Mix Modeling with Carryover and Shape Effects”（利用延滞效应和形状效应进行媒体组合建模的贝叶斯方法）。

Adstock 函数

Adstock 函数的定义如下：

$$ \text{AdStock}(x_t, x_{t-1}, \cdots, x_{t-L};\ \alpha)\ = \dfrac{\sum\limits_{s=0}^L\ \alpha^sx_{t-s}} {\sum\limits _{s=0}^L\ \alpha^s} $$

其中：

• \(x_s \geq 0; s = t, t-1, \cdots, t-L\)

• \(\alpha\ \in\ [0, 1]\) 是几何衰减率

• \(L\) 是最大滞后时长

同样直观的是，随着给定时间段内给定媒体渠道的支出不断增加，您最终会看到边际回报递减，例如达到饱和。Meridian 通过一个双形参函数（名为“Hill 函数”）来模拟这种饱和效应。

Hill 函数

Hill 函数的定义如下：

$$ \text{Hill}(x; ec, \text{slope}) = \frac{1}{1+\left( \frac{x}{ec} \right)^ {- \text{slope}}} $$

其中：

• \(x \geq 0\)

• \(ec > 0\) 是半饱和点，这意味着\(\text{Hill}(x=ec; ec, \text{slope}) = 0.5\)

• \(\text{slope} > 0\) 是一个形参，用于控制函数形状：

  • \(\text{slope} \leq 1\) 对应于凹形
  • \(\text{slope} > 1\) 对应于 S 形函数，当 \( x < ec \) 时为凸函数，当 \( x > ec \)时为凹函数

重要提示：Hill 函数形参的模型估计值基于观测到的媒体数据范围。拟合的响应曲线可外推至此范围之外，但在解读基于外推的结果时应保持适当的谨慎。

Hill 函数可以在 Adstock 转换之前或之后应用，具体取决于 ModelSpec 的布尔值 hill_before_adstock 实参。默认设置为 hill_before_adstock = False，这会使渠道 \(m\) 在地理位置 \(g\) 和时间段 \(t\)的媒体效应等于\(\beta_{g,m} \text{Hill}(\text{Adstock}(x_t,x_{t-1},\cdots,x_{t-L};\ \alpha_m) ;ec_m, \text{slope}_m)\)。