Meridian 可重新設定參數，讓每個管道的投資報酬率成為模型參數。這樣一來，您就能納入先前的投資報酬率資訊，例如增量實驗、業界基準或其他領域知識。或者，您也可以使用資訊較少的先驗。投資報酬率優先原則可讓您一視同仁地對待所有媒體管道。此外，如果需要正則化來達成更佳的模型收斂或擬合度，ROI 先驗值可提供一種方法，在各管道中套用相同的正則化。如要進一步瞭解這項校正方法，請參閱「使用貝氏先驗值校正媒體組合模型」。
或者，您也可以重新設定 Meridian 參數，讓每個管道的 mROI 成為模型參數。將 mROI 規則化為跨管道的共同值，也會影響從預算最佳化取得的建議預算變更。
ModelSpec 的 paid_media_prior_type 引數可讓您指定是否要將先驗置於投資報酬率、mROI 或係數 (beta_m) 上。PriorDistribution 物件具有 roi_m 和 beta_m 的引數，但只會根據 paid_media_prior_type 的值使用其中一個。選取 ROI 先驗值時，roi_m 參數代表 ROI；選取 mROI 先驗值時，則代表 mROI。
以下是 ROI 和 mROI 模型的重新參數化。
ROI 先驗
對於任何媒體管道 \(m\)，該管道帶來的銷售額增量為
$$
\begin{align}
\text{IncrementalSales}_m
&= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)
\right) \\
&\qquad - L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{0 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m
\right) \right)\\
&= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \\
&= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ ,
\end{align}
$$
其中 $M_{g,t,m}$ 的定義如下：
$$
M_{g,t,m} =\ u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \ ,
$$
其中 \(s = \sqrt{\frac{1}{GT-1} \sum\limits_{g,t} \left( y^\dagger_{g,t}-m
\right)^2}\) 是母體比例 KPI 值的標準差，如輸入資料所定義。
$\beta_{g,m}$ 和 $\text{ROI}_m$ 之間的關係可由下列方程式表示：
$$
\begin{align*}
\sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalSales}_m \\
&= \text{ROI}_m \cdot \text{Cost}_m \\
&= \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \ .
\end{align*}
$$
因此，$\beta_{g,m}$ 可以重新設定為
$$
\begin{align*}
\beta_{g,m} &=
\begin{cases}
\text{exp}(\beta_m + \eta_m Z_{g,m})
&,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\
\beta_m + \eta_m Z_{g,m}
&,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ ,
\end{cases}
\end{align*}
$$
其中 \(Z_{g,m}\) 具有標準常態先驗分佈，不受其他模型參數影響。將這個運算式替換為 \(\beta_{g,m}\)會產生以下等式：
$$
\begin{align*}
\beta_m &= \begin{cases}
\text{log}\left( \text{ROI}_m\sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \right) -
\text{log}\left( \sum\limits_{g,t}exp\left( \eta_m Z_{g,m} \right)
M_{g,t,m}\right)
&, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\
\dfrac{
\text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} -
\eta_m \sum\limits_{g,t}Z_{g,m}M_{g,t,m}
}{
\sum\limits_{g,t} M_{g,t,m}
}
&, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ . \end{cases} \\
\end{align*}
$$
因此，$\beta_m$ 是 \((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m,
ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\)的函式。如果所有其他值都固定，則 $\beta_m$ 和 $\text{ROI}_m$ 之間會是一對一對應關係。因此，您可以使用 $\text{ROI}_m$ 取代 $\beta_m$，重新設定模型參數。請注意以下幾點：
- 任何使用者指定的先驗分布都可以放置在 $\text{ROI}_m$ 參數上。
- 雖然 $\beta_m$ 不再是模型參數，但仍可為每個馬可夫鏈蒙地卡 (MCMC) 先驗或後驗抽樣計算，因為它是其他參數的函數。
- 當
media_effects_dist = Normal 時，$\text{ROI}_m$ 可以採用 \((-\infty, +\infty)\)中的任何值。當 media_effects_dist = LogNormal 時，$\text{ROI}_m$ 可採用 \((0, +\infty)\)中的任何值。
以投資報酬率為準重新設定模型參數，只會變更模型的先前分布方式。使用 ROI 參數化參數化時，獨立先驗分布會放在\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\) 上，而非 \((\beta_m,
\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\)上。在兩種情況下， \(\{Z_{g,m}\}^G_{g=1}\)參數都會指派標準正態先驗值，這些值與其他模型參數彼此獨立，ROI 參數化會隱含地誘導 \(\beta_m\)的先前分布，但這項分布不再與 \((\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m,
\{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\)獨立。
根據預設，Meridian 會將 ROI 前面的分母 $IncrementalSales_m$ 定義為所有地理區域和時間範圍的總和。不過，您也可以使用 roi_calibration_period 和 rf_roi_calibration_period 引數，將其定義為某些時間區間的總和。在某些特殊情況下，建議只考量子集，例如在校正廣告投資報酬率時，先使用涵蓋行銷組合模式分析模擬期間內特定時間範圍的實驗。詳情請參閱「使用貝氏先驗值調整媒體組合模型」中的第 3.4 節。在大多數情況下，我們建議您在所有時間範圍內定義先驗值，並使用任何可用的實驗結果，做為更全面策略中的一種決策因素，如「投資報酬率先驗值和校正」一文所述。
提供觸及數和頻率資料的管道
如要針對具有觸及數和頻率資料的管道進行相同的重新設定，請設定
$$
M_{g,t,n} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{Adstock}\left(
\left\{ r_{g,t-\ell,n} \cdot \text{Hill}\left( f_{g,t-\ell,n};\ ec^{(rf)}_n,
\text{slope}^{(rf)}_n \right) \right\}^L_{\ell=0}\ ;\ \alpha^{(rf)}_n \right)
\ .
$$
其他所有內容都相同，因此不會重複衍生。
邊際投資報酬率先驗
或者，您也可以為邊際投資報酬率 (而非投資報酬率) 指定先前分布。
$$
\begin{alignat}{2}
\text{MarginalIncrementalSales}_m
&= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m
\right) \right) \\
&\quad - \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m}
\text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\right) \\
&= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \biggl\{
\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \\
& \hspace{8em} - \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \biggr\} \\
&= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ ,
\end{alignat}
$$
其中 $M_{g,t,m}$ 的定義如下：
$$
\begin{align}
M_{g,t,m} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \biggl\{
&\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\\
&- \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right)
\biggr\} \ .
\end{align}
$$
$\beta_{g,m}$ 和 $\text{MarginalROI}_m$ 之間的關係可由下列方程式表示：
$$
\begin{align*}
\sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{MarginalIncrementalSales}_m \\
&= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \text{Cost}_m) \\
&= \text{MarginalROI}_m \cdot
(0.01 \cdot \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m}) \ .
\end{align*}
$$
如果您採取以下做法，先前針對 ROI 先驗值的 \(\beta_m\) 所述方程式仍適用於邊際 ROI 先驗值：
- 請使用 \(M_{g,t,m}\)的這個替代定義，並且
- 將 \(\text{ROI}_m\) 替換為 \(0.01 \cdot \text{MarginalROI}_m\)。
