Die zeitbasierte Regression (Time-Based Regression, TBR) ist eine statistische Methode, die in Meridian GeoX verwendet wird, um die kausale Wirkung von Marketingmaßnahmen zu messen. Das Framework ist darauf ausgelegt, zuverlässige Messungen der inkrementellen Conversions zu liefern. Dazu werden geografische Verlaufsdaten verwendet, um zukünftige kontrafaktische Ergebnisse vorherzusagen.
Zentrales Framework und Ausführung
Der TBR-Prozess ist in zwei operative Phasen unterteilt, in denen Vorhersagemodelle im Vorfeld eines Tests trainiert werden:
- Vortestzeitraum: In dieser Phase wird ein lineares Modell anhand von Zeitreihen mit Conversion-Verlaufsdaten aus aggregierten geografischen Test- und Kontrollregionen trainiert, bevor Marketingmaßnahmen ergriffen werden.
- Testzeitraum: Nach Beginn des Tests oder der Marketingmaßnahme wird das Modell verwendet, um das kontrafaktische Szenario vorherzusagen, also die Conversion der Testgruppe ohne die Marketingmaßnahme.
An jedem Testtag wird der inkrementelle Effekt geschätzt, indem die prognostizierte kontrafaktische Conversion von der erfassten Conversion subtrahiert wird. Anschließend wird der gesamte inkrementelle Effekt berechnet, indem diese täglichen inkrementellen Effekte über alle Testtage hinweg summiert werden.
Mathematische Formeln
Die TBR modelliert die Beziehung zwischen der Testgruppe und der Kontrollgruppe im Vortestzeitraum. Diese Beziehung wird dann verwendet, um die kontrafaktische Baseline der Testgruppe vorherzusagen: was ohne die während des Tests ergriffene Marketingmaßnahme passiert wäre.
Damit die numerische Stabilität gewahrt bleibt und Zellen mit mehreren geografischen Einheiten unterstützt werden, wird das Modell an den durchschnittlichen KPI der Test- und der Kontrollgruppe angepasst und der endgültige geschätzte Effekt wird wieder auf den Gesamtwert skaliert.
Gruppenaggregation
GeoX berechnet die durchschnittliche KPI-Zeitreihe für die Test- und die Kontrollgruppe mit den folgenden Gleichungen:
- Durchschnittlicher KPI der Testgruppe zum Zeitpunkt \(t\): \(\bar{Y}_{treat, t} = \frac{1}{|G_T|} \sum_{g \in G_T} Y_{g, t}\)
- Durchschnittlicher KPI der Kontrollgruppe zum Zeitpunkt \(t\): \(\bar{Y}_{control, t} = \frac{1}{|G_C|} \sum_{g \in G_C} Y_{g, t}\)
In den Gleichungen gilt:
- \(G_T\) sind die geografischen Testeinheiten.
- \(G_C\) sind die geografischen Kontrolleinheiten.
- \(Y_{g, t}\) ist der erfasste KPI für die geografische Einheit \(g\) zum Zeitpunkt \(t\), zum Beispiel Conversions oder Verkäufe.
Modellanpassung vor dem Test
Während des Vortestzeitraums (\(t \in T_{pre}\)) stellt GeoX eine lineare Baseline-Beziehung zwischen den Durchschnittswerten der Test- und der Kontrollgruppe her:
In der Gleichung gilt:
- \(\alpha\) ist der Achsenabschnitt, der die Baseline-Differenz im durchschnittlichen Volumen zwischen der Test- und der Kontrollgruppe erfasst.
- \(\beta\) ist der Regressionskoeffizient, der die strukturelle Korrelation zwischen den beiden Gruppen erfasst. Damit die physische Plausibilität gewahrt bleibt, verwendet GeoX eine Nichtnegativitätsbeschränkung: \(\beta \ge 0\).
- \(\epsilon_t\) stellt den Restfehlerausdruck dar. Für \(\epsilon_t\)werden keine Verteilungsannahmen getroffen und die Unsicherheit wird mithilfe einer nicht parametrischen, placebobasierten Inferenz quantifiziert.
Das Modell wird durch Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate (Ordinary Least Squares, OLS) auf die Vortest-Trainingsdaten angepasst, um \(\hat{\alpha}\) und \(\hat{\beta}\)zu schätzen.
Kontrafaktische Vorhersage
Während des Testzeitraums (\(t \in T_{test}\)) wird die Marketingmaßnahme auf die Testgruppe angewendet, während die Kontrollgruppe wie gewohnt behandelt wird (Business As Usual, BAU). GeoX prognostiziert die durchschnittliche kontrafaktische Baseline – also das, was die Testgruppe im Durchschnitt ohne die Marketingmaßnahme erzielt hätte – mit der folgenden Gleichung:
Schätzung inkrementeller Conversions
Die tägliche inkrementelle Conversion oder die durchschnittliche punktweise Steigerung \(\bar{\delta}_t\)zum Zeitpunkt \(t\) während des Testzeitraums wird mit folgender Gleichung berechnet:
Zur Berechnung der kumulativen inkrementellen Conversion bis zum Tag \(k\) des Tests summiert GeoX die täglichen durchschnittlichen Effekte und skaliert sie mit der Anzahl der geografischen Testeinheiten \(|G_T|\):
Anpassung des Testtyps
Die Richtung des Effekts wird ausgehend vom jeweiligen Testdesign angepasst:
- Heavy-up und Holdback: Die inkrementelle Conversion ist \(\Delta_k\).
- Go-dark: Die Marketingmaßnahme ist ein Ausgabenstopp, daher ist der erwartete Effekt negativ. Die inkrementelle Conversion wird negiert, um den positiven Wert der eingestellten Werbung abzubilden: