W przypadku danego kanału komunikacji \(q\)przyrostowy wynik jest zdefiniowany jako:
\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]
Gdzie:
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) to obserwowane wartości mediów.
- \(\left\{ x_{g,t,m}^{[M] (0,q)} \right\}\) oznacza obserwowane wartości mediów na wszystkich kanałach z wyjątkiem kanału \(q\), na którym wartość jest wszędzie ustawiona na 0. Więcej szczegółów:
- \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
- \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)
ROI kanału \(q\) jest zdefiniowany jako:
\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]
Gdzie \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)
Uwaga: mianownik ROI to koszt mediów w określonym okresie, który jest zgodny z okresem, w którym zdefiniowano wynik dodatkowy. W rezultacie przyrostowy wynik w liczniku obejmuje opóźniony efekt mediów wykonanych przed tym oknem czasowym i podobnie wyklucza przyszły efekt mediów wykonanych w tym oknie czasowym. W związku z tym przyrostowy wynik w liczniku nie jest idealnie dopasowany do kosztu w mianowniku. Jednak w dłuższym okresie czasu rozbieżność ta będzie mniej istotna.
Pamiętaj, że dane mogą nie uwzględniać scenariusza medialnego odmiennego od rzeczywistości (\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)). W takim przypadku do wywnioskowania kontrafaktualicznego wymagana jest ekstrapolacja oparta na założeniach modelu.
W ogólnym ujęciu definicja przyrostowego wyniku jest krzywą odpowiedzi na potrzeby kanału \(q\) , która zwraca przyrostowy wynik jako funkcję wydatków na kanał \(q\):
\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]
Gdzie \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) oznacza obserwowane wartości mediów dla wszystkich kanałów z wyjątkiem kanału \(q\), który jest mnożony przez współczynnik \(\omega\) w każdym miejscu. W szczególności:
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)
Minimalny ROI kanału \(q\) jest zdefiniowany jako:
Gdzie \(\delta\) to mała liczba, np. \(0.01\).
Pamiętaj, że definicje krzywej odpowiedzi i minimalnego ROI zakładają stały koszt jednostki mediów równy historycznemu średniemu kosztowi jednostki mediów.