本指南是 Meridian 中所用数学符号的参考指南。
本指南旨在帮助您解读和理解用于估算处理变量因果影响的方程，并助您进行预算优化。
目录
基本变量和输入数据
这些符号代表 Meridian 模型方程中使用的输入项，即经过完全缩放和转换的数据。字母表示指标，带括号的上标定义了数据的特定类型或类别。
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| $y$ | KPI：模型的响应变量（目标变量、因变量）。它可以是收入、销量、转化次数，也可以是处理变量可能带来因果效应的任何其他指标。 |
| $z^{[C]}$ | 控制变量：模型中不属于处理变量的变量（例如天气或价格）。这些变量用于估算基准结果。 |
| $x^{[M]}$ | 付费媒体变量：付费媒体渠道的媒体投放水平（例如点击次数或支出）。 |
| $r^{[RF]}$ | 付费覆盖面：看到付费媒体的唯一身份用户数。 |
| $f^{[RF]}$ | 付费频次：每位唯一身份观看者看到的付费展示次数。 |
| $x^{[OM]}$ | 自然媒体变量：自然媒体渠道的媒体投放水平（例如简报打开次数）。 |
| $r^{[ORF]}$ | 自然覆盖面：看到自然媒体的唯一身份用户数。 |
| $f^{[ORF]}$ | 自然频次：每位唯一身份观看者看到的自然展示次数。 |
| $x^{[N]}$ | 非媒体处理变量：非媒体干预措施（例如促销活动或定价）的执行水平。 |
| $p$ | 人口：每个地理位置的人口规模，用于对数据进行缩放，以便在不同规模的区域之间进行比较。 |
| $u$ | 单位价值：用于将原始单位换算为支出金额的货币数值，以便计算投资回报率。 |
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- 输入数据：针对基本变量（例如 $y$、$z^{[C]}$ 和 $x^{[M]}$）定义确切的数据结构和维度要求。
- 覆盖面和频次：说明覆盖面 ($r^{[RF]}$) 和频次 ($f^{[RF]}$) 如何替代标准投放指标，以更准确地对饱和度进行建模。
- 自然媒体和非媒体实验组变量：详细说明付费媒体、自然媒体 ($x^{[OM]}$) 和非媒体处理变量 ($x^{[N]}$) 之间的区别，包括费用结构和变量行为。
- 控制变量：解释了选择混杂变量 ($z^{[C]}$) 的因果依据，旨在消除估计值偏差。
数据状态和转换符号
在 Meridian 框架中，变量在进入模型之前，会先通过转换函数进行处理。特殊标记（如点号和剑号）用于指示数据当前处于转换过程中的哪个阶段。
| 符号 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
| $\ddot{(\cdot)}$ | 原始输入数据（双点）：用户提供的“原样”数据，未经过任何缩放。 | $\ddot{y}$ 表示某个地区的原始 KPI 计数。 |
| $(\cdot)^\dagger$ | 按人口比例缩放（剑号）：中间数据状态。这是原始数据除以相应地理位置的人口 ($p_ {g}$) 得到的结果。 | $y^\dagger_ {g,t} = \ddot{y}_ {g,t} / p_ {g}$ |
| $(\cdot)$ | 完全转换后的变量：模型方程中使用的完成最终转换的数据。对于 KPI，这是指经过中心化（均值为 0）和缩放（标准差为 1）处理后的剑号变量。 | $y$ 是模型学习所依据的最终销售数值。 |
| $L(\cdot)$ | 转换函数：用于将原始单位转换为完全缩放单位的具体线性转换函数。 有关 Meridian 中执行的每项转换的具体详情，请参阅输入数据部分。 |
$y = L^{[Y]}(\ddot{y})$ |
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索引变量（下标）
索引是数据数组的“坐标”，明确指出所引用的具体数据切片。Meridian 会为基本变量添加下标，用以指定地理位置和时间等维度（例如 $x^{[M]}_ {g,t,i}$）。
| 符号 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
| $g$ | 地理位置：对特定地理单元进行索引 ($1, \dots, G$)。 | $g$ = 纽约或伦敦。 |
| $t$ | 时间：对特定时间段进行索引 ($1, \dots, T$)。 | $t$ = 用于训练 MMM 的时间段中的第 10 周。 |
| $i$ | 变量索引：一种通用索引，用于指定类别中的特定渠道或处理变量。 | $i = 3$ 表示第 3 个付费媒体渠道。 |
| $G$ | 地理位置总数：地理单元总数。 | 对于美国州级模型，$G = 50$。 |
| $T$ | 时间段总数：时间段的总数量。 | 如果使用两年的每周数据，则 $T = 104$。 |
| $N_ {C}$ | 控制变量总数：控制变量的总数。 | $N_ {C} = 3$（例如价格、天气、节假日）。 |
| $N_ {M}$ | 付费媒体总数：不含 R&F 数据的付费媒体变量的总数。 | $N_ {M} = 4$（例如，电视、电台、平面媒体、搜索）。 |
| $N_ {RF}$ | 付费 R&F 总数：含 R&F 数据的付费媒体变量的总数。 | $N_ {RF} = 2$（例如 Facebook、YouTube）。 |
| $N_ {OM}$ | 自然媒体总数：不含 R&F 数据的自然媒体变量的总数。 | $N_ {OM} = 2$（例如，SEO、社交帖子）。 |
| $N_ {ORF}$ | 自然 R&F 总数：含 R&F 数据的自然媒体变量的总数。 | $N_ {ORF} = 1$（例如，自然渠道简报）。 |
| $N_ {N}$ | 非媒体处理变量总数：非媒体处理变量的总数。 | $N_ {N} = 2$（例如，实体店促销、优惠券）。 |
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- 地理位置级建模：探讨按地理位置 ($g$) 对数据编制索引与按国家/地区汇总数据在统计方面的优势。
- 留出观测值：显示在模型训练期间如何排除特定时间 ($t$) 和地理位置 ($g$) 坐标，以计算样本外拟合度。
- 国家级建模：详细说明了在对单个地理位置 ($G=1$) 进行建模时，Meridian 会自动应用的形参限制。
模型形参
以下是模型根据数据估计的“学习”形参和系数（用希腊字母表示）。
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| $\theta$ | Theta：模型正在估计的任何不可观测形参的通用术语。 |
| $\tau_ {g}$ | Tau（地理位置截距）：地理位置效应，表示每个地理位置相对于基准地理位置的平均 KPI。 |
| $\mu_ {t}$ | Mu（时变截距）：根据结值推导出的时间效应。 |
| $b_ {k}$ | 结形参：结 $k$ 处的估计结值。 |
| $\beta^{[M]}_ {i}, \beta^{[RF]}_ {i},$ $\beta^{[OM]}_ {i}, \beta^{[ORF]}_ {i}$ |
Beta（分层媒体效应）：地理位置级媒体效应的分层分布形参。当媒体效应分布设置为正态分布时，它是分层平均值。如果设置为对数正态，则它是底层对数转换正态分布平均值的分层形参。 |
| $\beta^{[M]}_ {g,i}, \beta^{[RF]}_ {g,i},$ $\beta^{[OM]}_ {g,i}, \beta^{[ORF]}_ {g,i}$ |
Beta（地理位置级媒体效应）：从分层分布中抽取的地理位置 $g$ 内渠道 $i$ 的特定媒体效应系数。 |
| $\gamma^{[C]}_ {i}, \gamma^{[N]}_ {i}$ | Gamma（分层控制平均值）：控制变量或非媒体渠道的系数的分层平均值。层次结构是基于地理位置定义的。 |
| $\sigma$ | Sigma（残差标准差）：噪声的标准差。 |
| $\eta$ | Eta（媒体分层方差）：地理位置级媒体效应的分层分布形参。当媒体效应分布设置为正态分布时，它是分层标准差。如果设置为对数正态，则它是底层对数转换正态分布的标准差的分层形参。 |
| $\xi$ | Xi（控制变量和非媒体分层方差）：控制变量或非媒体渠道的系数的分层标准差。层次结构是基于地理位置定义的。 |
| $\alpha$ | Alpha（Adstock 衰减率）：一个介于 0 到 1 之间的值。 |
| $\mathtt{ec}$ | 半饱和度：达到最大可能销售额提升效果 50% 的“饱和点”。 |
| $\mathtt{slope}$ | 斜率：控制响应曲线的形状。如果 $slope\leq1$，则会创建严格凹曲线；如果 $slope > 1$，则会创建“S 型曲线”。 |
相关链接
- 模型规范：提供完整的回归方程，显示 $\beta$、$\gamma$ 和 $\tau$ 等不可观测形参如何相互作用来估计结果。
- 默认先验分布：列出了分配给 $\tau_g$、$\beta_i$ 和 $\sigma$ 等已学习形参的默认统计分布和基本原理。
- 贝叶斯推理：说明 MCMC 抽样如何从观测数据中联合估计这些不可观测的形参 ($ heta$) 及其不确定性。
超形参
这些是模型训练之前设置的固定形参，充当结构性输入，而不是学习到的系数。
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| $L$ | 滞后期上限：一个固定超形参，表示广告对销售额产生影响所用的周数上限。 |
| $K$ | 结总数：用于模拟时变时间效应的结总数。 |
| $s_ {k}$ | 结位置：第 $k$ 个结所在的具体时间段。 |
时变形参
Meridian 使用结来对时间效应进行建模。该模型不会为每个时间段估计唯一的时间效应，而是估计特定定位点（结）的值，并插值计算中间时间段的值。
以下符号表示用于计算该插值的符号表示法。
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| $b_ {k}$ | 结形参：结 $k$ 处的估计结值。 |
| $\ell(t)$ | 下结索引：给定时间 $t$ 之前最近的结的索引。 |
| $u(t)$ | 上结索引：给定时间 $t$ 之后最近的结的索引。 |
| $w(t)$ | 时间权重：时间 $t$ 的插值权重，根据其与相邻结位置（$s_ {\ell(t)}$ 和 $s_ {u(t)}$）之间的距离计算得出。 |
| $\mu_ {t}$ | 时变截距：时间 $t$ 的时间效应，计算方式为加权平均值：$\mu_ {t} = w(t)b_ {\ell(t)} + (1-w(t))b_ {u(t)}$。 |
相关链接
模型规范
如需查看将这些输入和形参纳入 Meridian 模型的完整数学方程式，请参阅模型规范页面。
条件和逻辑
以下符号表示依赖关系、数学逻辑或统计关系。
| 符号 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
| $\mid$ | 竖线：读作“给定”。表示条件概率或期望。 | $P(\theta \mid data)$ 表示在给定观测数据的情况下，形参的概率。 |
| $I_ {\lbrace \dots \rbrace}$ | 指示函数：逻辑开关。如果内部条件为 true，则为 1，否则为 0。 |
如果对控制变量 $i$ 使用了按人口比例缩放，则 $I_ {i}^{[C]} = 1$，否则为 0。 |
| $\sim$ | 波浪号运算符：读作“分布为”。将形参与其统计先验分布相关联。（注意：此运算符不同于用于表示潜在结果的波浪号 $\overset \sim Y$）。 | $\gamma^{[C]}_ {i} \sim \text{Normal}(0, 5)$ 表示该形参服从均值为 0、标准差为 5 的正态分布。 |
| $\lbrace \dots \rbrace$ | 大括号：表示变量的集合、向量或多维数组。 | ${x_ {g,t,i}}$ 表示整个观测到的媒体投放数组，${q_ {t-s}}^L_ {s=0}$ 表示滞后时间序列。 |
| $\forall$ | 对于所有：全称量词。这意味着该方程或条件适用于特定集合中的每个值。 | $\forall g,t$ 表示该条件适用于所有地理区域和所有时间段。 |
相关链接
- 输入数据：使用集合表示法 (${\dots}$) 来定义建模所需的控制变量和处理变量的完整数组。
- 贝叶斯推理：解释了 Meridian 的 MCMC 抽样的核心条件概率 $P(\theta \mid data)$。
- 必要假设：详细说明了安全估计因果效应所需的条件可交换性假设 ($E(\overset \sim Y \mid z)$)。
因果推理和预算优化
以下符号用于定义反事实情景、生成响应曲线和计算最佳预算分配。
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| $\overset \sim Y^{(\lbrace x^{(1)} \rbrace)}$ | 潜在结果：在特定情境下可能出现的假设结果（例如销售额）。波浪号 ($\overset \sim Y$) 表示这是潜在结果，上标 ($\lbrace x^{(1)} \rbrace$) 表示正在测试的特定媒体投放方案。 |
| $x^{(1)}, x^{(0)}$ | 反事实情景：用于比较不同的媒体投放情况。通常，$x^{(1)}$ 表示历史投放情况，$x^{(0)}$ 表示基准（例如，特定渠道的支出为零）。 |
| $b_ {i}$ | 预算：在预算优化期间分配给特定渠道 $i$ 的总预算。 |
| $\omega$ | 支出缩放比例：用于按比例调整历史支出的乘数。在数学上用于生成响应曲线或计算边际投资回报率。 |
| $f^*$ | 目标/最佳频次：在覆盖面和频次优化期间计算出的最佳平均广告展示频次。 |
| $(j)$ | MCMC 抽样上标：表示用于计算预期结果后验平均值的特定模拟“抽样”（模型生成的数千个可能答案之一）。 |
相关链接
- 增量效果、投资回报率、边际投资回报率和响应曲线：使用潜在结果 ($\overset \sim Y$) 以数学方式定义投资回报率等业务指标。
- 使用回归模型估算增量效果：显示将预期结果 ($\hat{Y}$) 与反事实情景比较（$x^{(1)}$ 与 $x^{(0)}$）联系起来的数学证明。
- 针对没有覆盖面和频次数据的媒体渠道进行优化：详细介绍了用于求解最佳预算向量 $b_i$ 的目标函数。
- 针对有覆盖面和频次数据的媒体渠道进行优化：将预算优化扩展为包括求解目标最佳频次 ($f^*$)。
- 投资回报率、边际投资回报率和贡献率形参化：说明如何使用这些确切的业务指标在数学上形参化先验分布。
- 贝叶斯推理：将模型的模拟后验抽样 ($(j)$) 与预期结果和不确定性区间的计算相关联。